🎲Simuler en probabilités

Pour simuler une expérience aléatoire en classe, on travaille ici sur une liste de tirages déjà obtenus (le hasard a été « joué » ailleurs, on nous donne le résultat) :

tirages = [1, 6, 3, 6, 2, 6, 4]   # 7 lancers d'un dé

Le nombre total de tirages est len(tirages). Un succès est un tirage qui réalise l'événement étudié (par exemple « obtenir un 6 »).

Pour compter les succès, on parcourt la liste et on incrémente un compteur :

n6 = 0
for t in tirages:
    if t == 6:
        n6 = n6 + 1
# n6 vaut 3

Avec tirages = [1, 6, 3, 6, 2, 6, 4] : il y a 7 tirages au total et 3 fois la valeur 6.

Travailler sur une liste imposée rend le résultat reproductible : deux personnes qui exécutent le même code trouvent exactement le même compte, ce qui est pratique pour vérifier.

La fréquence d'une valeur est la part qu'elle représente :

$f = \frac{\text{effectif (nombre de succès)}}{\text{effectif total}}$

tirages = [1, 6, 3, 6, 2, 6, 4]
n6 = 0
for t in tirages:
    if t == 6:
        n6 = n6 + 1
frequence = n6 / len(tirages)   # 3 / 7 ≈ 0.4286

Une fréquence est toujours entre 0 et 1. Multipliée par 100, elle donne un pourcentage.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi une fréquence est-elle forcément entre $0$ et $1$ ? Le nombre de succès ne peut ni descendre sous $0$ (on ne compte jamais en négatif) ni dépasser le nombre total de tirages (un succès est lui-même un tirage). Donc dans $f = \dfrac{\text{succès}}{\text{total}}$, le numérateur est toujours plus petit (ou égal) que le dénominateur : la fraction vaut $0$ si on n'a jamais le succès, $1$ si on l'a à chaque fois, et reste coincée entre les deux le reste du temps. Une fréquence, c'est une part d'un tout, et une part ne peut pas dépasser le tout.

Pour calculer une fréquence :

1. compter les succès (numérateur) ;
2. compter le total avec len (dénominateur) ;
3. diviser avec / (jamais //, sinon on perd les décimales).

Sur [0, 1, 1, 0, 1] (1 = pile), il y a 3 piles sur 5 lancers : la fréquence de pile est 3 / 5 = 0.6, soit 60 %.

Attention à la division : 3 / 5 vaut 0.6 (bon) mais 3 // 5 vaut 0 (faux !). Pour une fréquence, on utilise toujours /.

La loi des grands nombres dit que, sur un grand nombre de tirages, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité. On peut donc estimer une probabilité par une fréquence :

$P(\text{événement}) \approx \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre total de tirages}}$

def estime_proba(tirages, succes):
    favorables = 0
    for t in tirages:
        if t == succes:
            favorables = favorables + 1
    return favorables / len(tirages)

Plus la liste de tirages est longue, plus l'estimation est fiable. Sur quelques lancers, la fréquence peut être loin de la probabilité ; sur des milliers, elle s'en approche.

Un dé équilibré : P(6) = 1/6 ≈ 0,167. Sur 7 lancers on peut trouver 3/7 ≈ 0,43 (peu fiable) ; sur 6000 lancers on trouverait une fréquence très proche de 0,167.

Fréquence = ce qu'on observe ; probabilité = ce qu'on prévoit en théorie. Elles se rapprochent quand le nombre de tirages augmente, mais ne sont presque jamais exactement égales.

La moyenne d'une série de valeurs est la somme divisée par l'effectif :

$\bar{x} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$

valeurs = [12, 9, 15, 8, 16]
moyenne = sum(valeurs) / len(valeurs)   # 60 / 5 = 12.0

C'est exactement la même structure qu'une fréquence : un total divisé par un effectif.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? « Même structure » qu'une fréquence : ce n'est pas une coïncidence, c'est littéralement la même chose dans un cas. Code un lancer de pièce par $1$ pour pile et $0$ pour face, par exemple $[1, 0, 1, 1, 0]$. La somme $1+0+1+1+0 = 3$ ne fait qu'additionner les $1$ : elle compte les piles ! Donc $\dfrac{\text{somme}}{\text{effectif}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ est à la fois la moyenne de la liste et la fréquence de pile. Une fréquence est donc une moyenne déguisée : la moyenne d'une liste de $0$ et de $1$.

Pour la moyenne d'une liste L non vide : sum(L) / len(L). Si tu ne veux pas utiliser sum, additionne les éléments un par un dans une boucle, puis divise par len(L).

Notes [8, 12, 16] : somme 36, effectif 3, moyenne 36 / 3 = 12.0.

Comme pour la fréquence : on divise avec /. Et attention à ne pas diviser par 0 : la moyenne d'une liste vide n'a pas de sens.

Pour obtenir d'un coup l'effectif de chaque valeur, on utilise un dictionnaire de comptage : la clé est la valeur, la valeur associée est son effectif :

tirages = [1, 6, 3, 6, 2, 6]
effectifs = {}
for t in tirages:
    if t in effectifs:
        effectifs[t] = effectifs[t] + 1
    else:
        effectifs[t] = 1
# effectifs vaut {1: 1, 6: 3, 3: 1, 2: 1}

Le réflexe « première rencontre / déjà vu » :

1. si la valeur est déjà une clé, on ajoute 1 à son effectif ;
2. sinon, on crée la clé avec l'effectif 1.

Sur ['pile', 'face', 'pile'], le dictionnaire d'effectifs vaut {'pile': 2, 'face': 1}. La somme des effectifs redonne le nombre total de tirages.

if t in effectifs teste si t est déjà une clé : c'est ce qui évite l'erreur KeyError quand on rencontre une valeur pour la première fois.