🔢Nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre qu'on peut écrire avec une virgule et un nombre limité de chiffres après la virgule. On lui voit deux parties :

• la partie entière, à gauche de la virgule ;
• la partie décimale, à droite de la virgule.

Par exemple, dans $34{,}7$ :

• la partie entière est $34$ ;
• la partie décimale est $7$.

Un nombre entier comme $12$ est un décimal particulier : on peut l'écrire $12{,}0$ (sa partie décimale est nulle).

Pour lire un nombre décimal comme $34{,}7$ :

1. Lis la partie entière : « trente-quatre ».
2. Dis « virgule ».
3. Lis la partie décimale : « sept ».
4. On lit donc « trente-quatre virgule sept ».

Le nombre $5{,}28$ :

• partie entière : $5$ ;
• partie décimale : $28$ ;
• il se lit « cinq virgule vingt-huit ».

En maths on écrit une virgule, pas un point : $3{,}5$ et non $3.5$. Et on n'oublie jamais la partie entière : on écrit $0{,}7$, pas seulement $,7$.

Chaque chiffre a une valeur qui dépend de sa place.

Après la virgule, on trouve dans l'ordre :

• le 1er chiffre : les dixièmes ;
• le 2e chiffre : les centièmes ;
• le 3e chiffre : les millièmes.

Par exemple, dans $0{,}258$ :

• $2$ est le chiffre des dixièmes ;
• $5$ est le chiffre des centièmes ;
• $8$ est le chiffre des millièmes.

Pour trouver la valeur d'un chiffre après la virgule :

1. Repère la virgule.
2. Compte les chiffres à partir de la virgule vers la droite.
3. 1er = dixièmes, 2e = centièmes, 3e = millièmes.

Dans $12{,}43$ :

• le $4$ est juste après la virgule : c'est le chiffre des dixièmes ;
• le $3$ est en 2e position : c'est le chiffre des centièmes.

Attention : le chiffre des dixièmes et le nombre de dixièmes, ce n'est pas pareil ! Dans $3{,}25$, le chiffre des centièmes est $5$, mais le nombre de centièmes est $325$ (car $3{,}25 = 325$ centièmes).

Pour comparer deux nombres décimaux :

1. On compare d'abord les parties entières : le plus grand nombre est celui qui a la plus grande partie entière.
2. Si les parties entières sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes, etc., chiffre par chiffre.

On utilise les signes $<$ (« plus petit que ») et $>$ (« plus grand que »).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi ajouter un zéro à droite ($3{,}5 = 3{,}50$) ne change rien ? Parce que le $5$ après la virgule, ce sont $5$ dixièmes. Or chaque dixième vaut exactement $10$ centièmes ($0{,}1 = 0{,}10$), donc $5$ dixièmes font $50$ centièmes : c'est le même tas de gâteau, juste recompté en parts plus petites ! Le zéro ajouté dit « et $0$ centième en plus », donc on n'ajoute vraiment rien. C'est pour ça qu'on a le droit de mettre tout le monde au même nombre de chiffres avant de comparer.

Pour comparer $7{,}5$ et $7{,}48$ :

1. Parties entières égales ($7 = 7$).
2. Pour comparer plus facilement, on complète avec un zéro : $7{,}5 = 7{,}50$.
3. On compare les dixièmes : $5$ pour $7{,}50$ et $4$ pour $7{,}48$. Comme $5 > 4$, on a $7{,}50 > 7{,}48$.
4. Donc $7{,}5 > 7{,}48$.

Range dans l'ordre croissant : $3{,}2$ ; $3{,}19$ ; $3{,}5$.

On écrit $3{,}20$ ; $3{,}19$ ; $3{,}50$.

On compare : $19 < 20 < 50$.

Ordre croissant : $3{,}19 < 3{,}2 < 3{,}5$.

Piège classique : $3{,}5$ est plus grand que $3{,}48$ ! Un nombre avec « plus de chiffres après la virgule » n'est pas forcément le plus grand. Astuce : ajoute des zéros pour avoir autant de chiffres après la virgule.

Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand que lui.

• Encadrer à l'unité près : entre deux nombres entiers qui se suivent.
• Encadrer au dixième près : entre deux nombres à un chiffre après la virgule.

Par exemple, $4{,}7$ est compris entre $4$ et $5$ : on écrit $4 < 4{,}7 < 5$.

Pour encadrer $4{,}7$ à l'unité près :

1. Regarde la partie entière : $4$.
2. Le nombre est donc entre $4$ et le nombre entier juste après, $5$.
3. On écrit : $4 < 4{,}7 < 5$.

Encadre $8{,}34$ au dixième près.

On regarde le chiffre des dixièmes : $3$, donc $8{,}3$.

Le nombre est entre $8{,}3$ et $8{,}4$ : $8{,}3 < 8{,}34 < 8{,}4$.

Pour encadrer, on garde un nombre juste en dessous et un nombre juste au-dessus. Les deux doivent « se suivre » (à l'unité, au dixième…).

Arrondir un nombre, c'est trouver le nombre simple le plus proche.

Pour arrondir, on regarde le chiffre juste après la position demandée :

• s'il est $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$ → on arrondit en dessous (on ne change rien) ;
• s'il est $5$, $6$, $7$, $8$ ou $9$ → on arrondit au-dessus (on ajoute $1$).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Arrondir $7{,}86$ à l'unité, c'est choisir l'entier le plus proche entre $7$ et $8$. Le milieu exact de ces deux entiers, c'est $7{,}5$. Posons $7{,}86$ sur une règle : il est à droite de $7{,}5$, donc plus près de $8$ → on arrondit à $8$. Voilà l'idée : on regarde de quel côté du milieu on se trouve. Si le 1er chiffre après la virgule est $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$, on n'a pas atteint le milieu : on est plus près du bas. À partir de $5$, on est au milieu ou au-delà : plus près du haut. Le cas pile au milieu ($7{,}5$) est à égale distance des deux bords : là, aucun n'est « plus proche », et c'est une convention qui tranche en disant « $5$, on monte ! ».

Pour arrondir $7{,}86$ à l'unité :

1. La partie entière est $7$.
2. Le chiffre juste après la virgule est $8$ (c'est $\geq 5$).
3. On arrondit au-dessus : $7 + 1 = 8$.
4. L'arrondi de $7{,}86$ à l'unité est $8$.

Arrondis $12{,}34$ au dixième.

Le chiffre des dixièmes est $3$. Juste après, le chiffre des centièmes est $4$ (c'est $< 5$).

On ne change pas : l'arrondi au dixième est $12{,}3$.

Le mot magique : « 5 et au-dessus, on monte ! ». Pour $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ on ajoute $1$ ; pour $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ on ne touche à rien.

Une demi-droite graduée commence à $0$ et va vers la droite. Les nombres sont rangés dans l'ordre croissant : plus on va à droite, plus c'est grand.

Quand l'espace entre deux grands traits (par exemple entre $3$ et $4$) est partagé en 10, chaque petit trait vaut un dixième, c'est-à-dire $0{,}1$.

Pour placer $3{,}4$ :

1. Repère les entiers qui l'encadrent : $3$ et $4$.
2. L'espace entre $3$ et $4$ est partagé en 10.
3. Compte $4$ petits traits après $3$.
4. Tu es à $3{,}4$.

Entre $0$ et $1$, l'espace est partagé en 10. Le point au 7e petit trait après $0$ correspond à $0{,}7$.

Si l'espace est partagé en 10, chaque petit pas vaut $0{,}1$. Compte bien les petits traits à partir du grand trait de gauche.