➕Les quatre opérations

Chaque opération a un nom et un résultat avec un nom :

• L'addition ($+$) : son résultat est la somme.
• La soustraction ($-$) : son résultat est la différence.
• La multiplication ($\times$) : son résultat est le produit.
• La division ($\div$) : son résultat est le quotient.

Les nombres qu'on multiplie s'appellent les facteurs.

Pour retrouver le bon mot :

1. $+$ → somme.
2. $-$ → différence.
3. $\times$ → produit.
4. $\div$ → quotient.

Dans $4 \times 5 = 20$ :

• $4$ et $5$ sont les facteurs ;
• $20$ est le produit.

Petit moyen : Somme et Soustraction… non ! Retiens plutôt : produit = multiplication, quotient = division. Ce sont les deux mots qu'on oublie le plus souvent.

Pour poser une addition ou une soustraction, on aligne bien les chiffres :

• les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, etc. ;
• pour les décimaux, on aligne les virgules l'une sous l'autre.

On calcule en commençant par la droite (les unités) et on n'oublie pas les retenues.

Pour calculer $12{,}5 + 3{,}75$ :

1. Aligne les virgules.
2. Complète avec un zéro si besoin : $12{,}50 + 3{,}75$.
3. Additionne colonne par colonne, de droite à gauche.
4. Résultat : $16{,}25$.

$45 - 18$ :

$8$ est plus grand que $5$, on emprunte une dizaine. $15 - 8 = 7$, puis $3 - 1 = 2$.

Résultat : $45 - 18 = 27$.

Pour les décimaux, ALIGNE LES VIRGULES ! Et tu peux ajouter des zéros à droite sans changer le nombre : $3{,}7 = 3{,}70$.

Pour une multiplication posée, on multiplie le 1er nombre par chaque chiffre du 2e nombre, puis on additionne les résultats (en les décalant).

Avec des décimaux : on calcule sans la virgule, puis on place la virgule dans le résultat. Le résultat a autant de chiffres après la virgule que les deux nombres réunis.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Regarde $2{,}5 \times 4$. Le nombre $2{,}5$, c'est $25$ divisé par $10$ (un chiffre après la virgule = une division par $10$). Donc $2{,}5 \times 4 = (25 \div 10) \times 4 = (25 \times 4) \div 10 = 100 \div 10 = 10$ : la division par $10$ du départ se retrouve à l'arrivée. C'est pour ça qu'on compte au total les chiffres après la virgule des deux nombres : chacun apporte sa division par $10$, et on les remet toutes dans le résultat à la fin.

Pour calculer $2{,}5 \times 4$ :

1. On enlève la virgule : $25 \times 4 = 100$.
2. $2{,}5$ a un chiffre après la virgule, $4$ en a zéro : en tout, $1$ chiffre.
3. On place la virgule pour avoir $1$ chiffre après : $10{,}0$.
4. Donc $2{,}5 \times 4 = 10$.

$13 \times 6$ :

$3 \times 6 = 18$ (j'écris $8$, je retiens $1$). $1 \times 6 = 6$, plus la retenue $1$, ça fait $7$.

Résultat : $13 \times 6 = 78$.

Pour placer la virgule dans une multiplication de décimaux : compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux nombres, et mets-en autant dans le résultat.

Dans une division euclidienne, on partage un nombre (le dividende) par un autre (le diviseur). On obtient :

• le quotient (combien de fois ça rentre) ;
• le reste (ce qui reste, qui doit être plus petit que le diviseur).

On a toujours :

$\text{dividende} = \text{diviseur} \times \text{quotient} + \text{reste}$

Pour diviser $17$ par $5$ :

1. Cherche combien de fois $5$ rentre dans $17$ : $5 \times 3 = 15$, $5 \times 4 = 20$ (trop). Donc le quotient est $3$.
2. Calcule le reste : $17 - 15 = 2$.
3. Vérifie : le reste $2$ est bien plus petit que le diviseur $5$.
4. On écrit : $17 = 5 \times 3 + 2$.

Division de $29$ par $4$ :

$4 \times 7 = 28$, et $4 \times 8 = 32$ (trop). Quotient $= 7$. Reste $= 29 - 28 = 1$.

Donc $29 = 4 \times 7 + 1$ (le reste $1$ est plus petit que $4$).

Le reste doit toujours être plus petit que le diviseur. Si ton reste est plus grand ou égal au diviseur, c'est que ton quotient est trop petit !

Pour les grands nombres, on pose la division avec une « potence ». On traite les chiffres du dividende un par un, de gauche à droite, et on abaisse le chiffre suivant à chaque étape.

À la fin, le quotient se lit à droite et le dernier reste se lit en bas.

Pour poser $96 \div 4$ :

1. $9 \div 4 = 2$ (car $4 \times 2 = 8$), il reste $9 - 8 = 1$ ; j'écris $2$ au quotient.
2. J'abaisse le $6$ à côté du reste $1$ : cela fait $16$.
3. $16 \div 4 = 4$ (car $4 \times 4 = 16$), il reste $0$ ; j'écris $4$ au quotient.
4. Plus rien à abaisser : le quotient est $24$, le reste est $0$.

 96 │ 4
-8  │────
 ─  │ 24
 16 │
-16 │
 ─  │
  0 │

Posons $437 \div 5$ :

• $4 \div 5$ : impossible, on prend $43$. $43 \div 5 = 8$ ($5 \times 8 = 40$), reste $3$.
• On abaisse le $7$ : $37 \div 5 = 7$ ($5 \times 7 = 35$), reste $2$.

Quotient $= 87$, reste $= 2$. Vérification : $5 \times 87 + 2 = 437$. ✓

À chaque étape, le chiffre posé au quotient doit donner un produit inférieur ou égal à la tranche du moment, et le reste doit rester plus petit que le diviseur.

Pour multiplier un nombre décimal par $10$, $100$ ou $1000$, on déplace la virgule vers la droite :

• par $10$ : on déplace de 1 rang ;
• par $100$ : on déplace de 2 rangs ;
• par $1000$ : on déplace de 3 rangs.

Le nombre devient plus grand. On ajoute des zéros si nécessaire.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Multiplier par $10$, c'est rendre chaque chiffre $10$ fois plus grand : un chiffre des unités devient des dizaines, un chiffre des dixièmes devient des unités… bref, chaque chiffre saute d'une colonne vers la gauche ! Comme c'est plus simple de garder les chiffres en place et de faire glisser la virgule, on déplace la virgule d'un rang vers la droite à la place. Vérifie avec $4 \times 10$ : $4$ paquets de $10$, ça fait bien $40$. Et par $100 = 10 \times 10$, on recommence deux fois : deux rangs.

Pour calculer $3{,}5 \times 100$ :

1. Par $100$, je déplace la virgule de $2$ rangs vers la droite.
2. $3{,}5 \to 35{,} \to 350$ (j'ajoute un zéro car il manque un chiffre).
3. Donc $3{,}5 \times 100 = 350$.

$0{,}07 \times 1000$ :

Je déplace la virgule de $3$ rangs vers la droite : $0{,}07 \to 0{,}7 \to 7{,} \to 70$.

Donc $0{,}07 \times 1000 = 70$.

On MULTIPLIE → le nombre devient plus GRAND → la virgule va à DROITE. Compte les zéros : autant de zéros = autant de rangs.

Pour diviser un nombre décimal par $10$, $100$ ou $1000$, on déplace la virgule vers la gauche :

• par $10$ : on déplace de 1 rang ;
• par $100$ : on déplace de 2 rangs ;
• par $1000$ : on déplace de 3 rangs.

Le nombre devient plus petit. On ajoute des zéros à gauche si nécessaire.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Diviser par $10$, c'est partager en $10$ parts égales, donc chaque chiffre devient $10$ fois plus petit : des dizaines deviennent des unités, des unités deviennent des dixièmes… chaque chiffre glisse d'une colonne vers la droite. Pour aller plus vite on laisse les chiffres tranquilles et on fait glisser la virgule d'un rang vers la gauche. Teste avec $70 \div 10$ : $70$ partagé en $10$, ça fait $7$ par part. Tout colle !

Pour calculer $45 \div 100$ :

1. Par $100$, je déplace la virgule de $2$ rangs vers la gauche.
2. $45 = 45{,}0 \to 4{,}5 \to 0{,}45$.
3. Donc $45 \div 100 = 0{,}45$.

$7 \div 10$ :

Je déplace la virgule de $1$ rang vers la gauche : $7 = 7{,}0 \to 0{,}7$.

Donc $7 \div 10 = 0{,}7$.

On DIVISE → le nombre devient plus PETIT → la virgule va à GAUCHE. Si tu n'as plus de chiffre, ajoute des zéros à gauche (et le $0$ avant la virgule).