✖️Multiples, diviseurs et divisibilité

Un multiple d'un nombre, c'est un nombre obtenu en multipliant ce nombre par un entier ($0$, $1$, $2$, $3$…).

Par exemple, les multiples de $5$ sont : $0$, $5$, $10$, $15$, $20$, $25$…

On les obtient avec la table de multiplication de $5$.

Pour trouver les multiples de $7$ :

1. Multiplie $7$ par $0$, $1$, $2$, $3$…
2. $7 \times 0 = 0$, $7 \times 1 = 7$, $7 \times 2 = 14$, $7 \times 3 = 21$…
3. Les multiples de $7$ sont : $0$, $7$, $14$, $21$, $28$…

Est-ce que $24$ est un multiple de $6$ ?

$6 \times 4 = 24$. Oui, $24$ est dans la table de $6$, donc c'est un multiple de $6$.

« Multiple » fait penser à « multiplier » : un multiple de $5$, c'est $5$ fois quelque chose. Les multiples sont de plus en plus grands.

Un diviseur d'un nombre, c'est un nombre qui le divise sans reste (le reste de la division est $0$).

Par exemple, les diviseurs de $12$ sont : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$, car chacun divise $12$ exactement.

Attention : « multiple » et « diviseur » sont deux mots différents !

Pour trouver les diviseurs de $12$ :

1. Essaie de diviser $12$ par $1$, $2$, $3$, $4$…
2. Garde ceux qui donnent un reste de $0$.
3. $12 \div 1 = 12$, $12 \div 2 = 6$, $12 \div 3 = 4$, $12 \div 4 = 3$, $12 \div 6 = 2$, $12 \div 12 = 1$.
4. Diviseurs de $12$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$.

Est-ce que $5$ est un diviseur de $20$ ?

$20 \div 5 = 4$ (reste $0$). Oui, $5$ est un diviseur de $20$.

Astuce : dire « $5$ est un diviseur de $20$ », c'est pareil que dire « $20$ est un multiple de $5$ ». Ce sont les deux faces d'une même opération !

Un nombre est pair s'il est dans la table de $2$, c'est-à-dire si on peut le partager en deux parts égales. Un nombre impair ne l'est pas.

• Pairs : $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$… (ils se terminent par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$).
• Impairs : $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $11$… (ils se terminent par $1$, $3$, $5$, $7$ ou $9$).

Pour savoir si un nombre est pair :

1. Regarde le dernier chiffre (le chiffre des unités).
2. S'il est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ → le nombre est pair.
3. S'il est $1$, $3$, $5$, $7$ ou $9$ → le nombre est impair.

Le nombre $134$ : son dernier chiffre est $4$.

$4$ est dans la liste $0, 2, 4, 6, 8$, donc $134$ est pair.

Pas besoin de calculer ! Pour pair/impair, seul le dernier chiffre compte. $10\,000\,001$ se termine par $1$ : il est impair.

Un critère de divisibilité permet de savoir, sans poser la division, si un nombre est divisible par un autre.

• Divisible par $2$ : le nombre se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ (c'est un nombre pair).
• Divisible par $5$ : le nombre se termine par $0$ ou $5$.
• Divisible par $10$ : le nombre se termine par $0$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Coupe le nombre en deux morceaux : tout ce qui est avant le dernier chiffre, et le dernier chiffre. Par exemple $3\,480 = 348 \times 10 + 0$, et $3\,487 = 348 \times 10 + 7$. Or le premier morceau est toujours « quelque chose $\times 10$ », et $10$ se partage parfaitement par $2$, par $5$ et par $10$ : ce gros morceau est donc déjà divisible par ces trois nombres ! Il ne reste plus qu'à se demander si le dernier chiffre l'est aussi, et c'est pour ça qu'on regarde seulement lui.

Pour savoir si $250$ est divisible par $5$ :

1. Regarde le dernier chiffre : $0$.
2. $0$ ou $5$ → divisible par $5$.
3. Donc $250$ est divisible par $5$ (et même par $10$, car il finit par $0$).

Le nombre $48$ se termine par $8$.

Il est donc divisible par $2$, mais pas par $5$ (il ne finit ni par $0$ ni par $5$) ni par $10$.

Pour $2$, $5$ et $10$, regarde seulement le dernier chiffre ! Finit par $0$ → divisible par $2$, $5$ ET $10$ à la fois.

Pour $3$ et $9$, on regarde la somme des chiffres du nombre.

• Divisible par $3$ : la somme des chiffres est dans la table de $3$ (elle est divisible par $3$).
• Divisible par $9$ : la somme des chiffres est dans la table de $9$ (elle est divisible par $9$).

Tout nombre divisible par $9$ est aussi divisible par $3$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Le secret, c'est que $9$, $99$, $999$… sont tous dans la table de $9$ (et de $3$). Prends $171 = 1\times 100 + 7\times 10 + 1$. Remplace $100$ par $99+1$ et $10$ par $9+1$ : on obtient $(1\times 99 + 7\times 9)$, qui est divisible par $9$, plus $(1 + 7 + 1)$, c'est-à-dire la somme des chiffres. Le gros morceau passe toujours, donc tout dépend de cette petite somme : si elle est dans la table de $9$, le nombre l'est aussi. Et comme $9$, $99$… sont aussi dans la table de $3$, la même astuce marche pour $3$.

Pour savoir si $123$ est divisible par $3$ :

1. Additionne les chiffres : $1 + 2 + 3 = 6$.
2. Est-ce que $6$ est dans la table de $3$ ? Oui ($3 \times 2 = 6$).
3. Donc $123$ est divisible par $3$.

Le nombre $171$ est-il divisible par $9$ ?

Somme des chiffres : $1 + 7 + 1 = 9$. Comme $9$ est dans la table de $9$, $171$ est divisible par $9$.

Pour $3$ et $9$, on additionne les chiffres (le dernier chiffre ne suffit pas !). Et si c'est divisible par $9$, c'est aussi divisible par $3$.