➗Fractions (découverte)

Une fraction représente un partage en parts égales.

Dans la fraction $\dfrac{3}{4}$ :

• le nombre du bas est le dénominateur : il dit en combien de parts égales on partage (ici $4$ parts) ;
• le nombre du haut est le numérateur : il dit combien de parts on prend (ici $3$ parts).

On lit $\dfrac{3}{4}$ « trois quarts ».

Pour lire ou écrire une fraction :

1. Regarde le dénominateur (en bas) : nombre de parts.
2. Regarde le numérateur (en haut) : parts prises.
3. $\dfrac{1}{2}$ = un demi, $\dfrac{1}{3}$ = un tiers, $\dfrac{1}{4}$ = un quart.

Une tablette de chocolat partagée en $5$ carrés égaux. Tu en manges $2$.

Tu as mangé $\dfrac{2}{5}$ (deux cinquièmes) de la tablette.

Pour ne pas confondre : le Dénominateur est en bas (D comme « Dessous »). C'est lui qui donne le nom des parts (demis, tiers, quarts…).

La fraction $\dfrac{a}{b}$ est aussi le quotient de $a$ par $b$ : c'est le résultat de la division $a \div b$.

Par exemple, $\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$.

Et quand le numérateur est un multiple du dénominateur, la fraction est un nombre entier : $\dfrac{6}{3} = 6 \div 3 = 2$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine $3$ tablettes de chocolat à partager équitablement entre $4$ enfants. Coupe chaque tablette en $4$ parts égales et donne une part de chaque tablette à chaque enfant : chacun reçoit $3$ quarts, donc $3 \div 4 = \dfrac{3}{4}$. Partager $3$ entre $4$, c'est exactement prendre $3$ fois un quart : voilà pourquoi la barre de fraction est une division !

Pour transformer une fraction en nombre décimal :

1. Écris la division : numérateur $\div$ dénominateur.
2. Pose et effectue la division.
3. Exemple : $\dfrac{1}{2} = 1 \div 2 = 0{,}5$.

$\dfrac{10}{5} = 10 \div 5 = 2$.

La fraction $\dfrac{10}{5}$ est égale au nombre entier $2$.

Une barre de fraction, c'est une division ! $\dfrac{a}{b}$ veut dire $a \div b$. C'est très pratique pour comprendre ce que vaut une fraction.

On peut comparer une fraction au nombre $1$ en regardant le numérateur et le dénominateur :

• si le numérateur est plus petit que le dénominateur : la fraction est plus petite que $1$ ;
• s'ils sont égaux : la fraction est égale à $1$ ;
• si le numérateur est plus grand que le dénominateur : la fraction est plus grande que $1$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Le dénominateur dit en combien de parts on a coupé le gâteau entier. Pour reconstituer le gâteau complet (qui vaut $1$), il faut justement reprendre toutes ces parts : $\dfrac{4}{4}$, $\dfrac{5}{5}$… valent donc $1$. Si tu prends moins de parts que ça (numérateur plus petit), il manque un morceau, c'est moins que $1$ ; si tu en prends plus, tu dépasses le gâteau entier, c'est plus que $1$.

Pour comparer $\dfrac{a}{b}$ à $1$ :

1. Compare le numérateur $a$ et le dénominateur $b$.
2. $a < b$ → fraction $< 1$.
3. $a = b$ → fraction $= 1$.
4. $a > b$ → fraction $> 1$.

Compare $\dfrac{7}{4}$ à $1$.

Le numérateur $7$ est plus grand que le dénominateur $4$.

Donc $\dfrac{7}{4} > 1$.

$\dfrac{5}{5} = 1$, $\dfrac{8}{8} = 1$… Quand le haut et le bas sont pareils, la fraction vaut toujours $1$ : on a pris toutes les parts !

Prendre « la fraction d'une quantité », c'est partager puis prendre des parts.

Pour calculer $\dfrac{2}{3}$ de $12$ :

• on divise $12$ par le dénominateur $3$ (on fait $3$ parts) ;
• on multiplie par le numérateur $2$ (on prend $2$ parts).

Pour calculer $\dfrac{2}{3}$ de $12$ :

1. Divise par le dénominateur : $12 \div 3 = 4$.
2. Multiplie par le numérateur : $4 \times 2 = 8$.
3. Donc $\dfrac{2}{3}$ de $12$ vaut $8$.

Dans une classe de $30$ élèves, $\dfrac{3}{5}$ sont des filles.

$30 \div 5 = 6$, puis $6 \times 3 = 18$.

Il y a $18$ filles.

Ordre malin : divise d'abord, multiplie ensuite. C'est plus facile car les nombres restent petits.

Deux fractions différentes peuvent désigner le même nombre : ce sont des fractions égales.

Si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur par le même nombre (différent de $0$), on obtient une fraction égale.

Par exemple : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prends une demi-tablette : c'est $\dfrac{1}{2}$. Recoupe maintenant chaque moitié en $3$ : la tablette entière compte $6$ petits morceaux, et ta moitié en contient $3$, soit $\dfrac{3}{6}$. Tu n'as rien mangé ni ajouté, juste découpé plus finement : la quantité est la même, donc $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$. Multiplier le haut et le bas par $3$, c'est exactement « couper chaque part en $3$ ».

Pour trouver une fraction égale à $\dfrac{1}{2}$ :

1. Choisis un nombre, par exemple $3$.
2. Multiplie le haut et le bas par $3$.
3. $\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}$.
4. Donc $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$.

$\dfrac{6}{8}$ : on divise le haut et le bas par $2$.

$\dfrac{6 \div 2}{8 \div 2} = \dfrac{3}{4}$.

Donc $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.

La règle d'or : ce que tu fais en haut, tu dois le faire en bas (et inversement). Sinon, tu changes la valeur de la fraction !