📈Proportionnalité

On dit qu'il y a proportionnalité entre deux grandeurs quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.

Exemple : 1 stylo coûte $2$ €. Alors :

• 2 stylos coûtent $4$ €,
• 3 stylos coûtent $6$ €,
• 5 stylos coûtent $10$ €.

Pour passer du nombre de stylos au prix, on multiplie toujours par 2. C'est une situation de proportionnalité.

Pour vérifier s'il y a proportionnalité :

1. Regarde chaque colonne (ou chaque ligne) du tableau.
2. Calcule le nombre par lequel on multiplie pour passer du haut au bas.
3. Si c'est le même nombre partout, c'est de la proportionnalité.
4. Si le nombre change, ce n'est pas de la proportionnalité.

Est-ce proportionnel ? 1 kg de pommes coûte $3$ €, 2 kg coûtent $6$ €, 4 kg coûtent $12$ €.

$1 \times 3 = 3$, $2 \times 3 = 6$, $4 \times 3 = 12$.

On multiplie toujours par $3$ : oui, c'est une situation de proportionnalité.

Méfie-toi de l'âge ! L'âge d'une personne et sa taille ne sont pas proportionnels : un enfant de 10 ans ne mesure pas le double d'un enfant de 5 ans.

Dans une situation de proportionnalité, le nombre par lequel on multiplie toujours s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Pour le trouver, on divise une valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première ligne.

Si 1 stylo coûte $2$ €, le coefficient est $2$ (chaque stylo ajoute $2$ €).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi diviser le bas par le haut donne le coefficient ? Le coefficient, c'est le nombre qui change le haut en bas en le multipliant : $\text{haut} \times \text{coefficient} = \text{bas}$. Diviser, c'est l'opération qui défait une multiplication. Donc pour $4$ cahiers qui coûtent $12$ €, on cherche le nombre qui, multiplié par $4$, donne $12$ : c'est $12 \div 4 = 3$. La division est la machine qui « remonte » de $12$ jusqu'au $3$ caché.

Pour trouver le coefficient :

1. Choisis une colonne complète du tableau (les deux valeurs connues).
2. Divise la valeur du bas par la valeur du haut.
3. Le résultat est le coefficient.
4. Pour compléter le tableau, tu multiplies (ou tu divises) par ce coefficient.

4 cahiers coûtent $12$ €. Quel est le coefficient ?

On divise le prix par le nombre de cahiers : $12 \div 4 = 3$.

Le coefficient est $3$. Donc 7 cahiers coûtent $7 \times 3 = 21$ €.

Le coefficient répond à la question « combien pour 1 ? ». Ici, $3$ € = le prix d'un seul cahier.

Un tableau de proportionnalité range les valeurs qui vont ensemble, l'une au-dessus de l'autre.

Pour le compléter, on peut :

• multiplier par le coefficient (de la ligne du haut vers celle du bas),
• additionner deux colonnes déjà connues,
• utiliser une colonne « double » ou « moitié ».

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi a-t-on le droit d'additionner deux colonnes ? Imagine que les stylos coûtent tous le même prix à l'unité. Tu achètes $2$ stylos dans un sac, puis $3$ stylos dans un autre sac. En tout, tu as bien $2 + 3 = 5$ stylos... et tu paies la somme des deux prix ! Si $2$ stylos coûtent $10$ € et $3$ stylos coûtent $15$ € (soit $5$ € le stylo dans les deux cas), alors $5$ stylos coûtent forcément $10 + 15 = 25$ €. C'est juste regrouper les deux sacs : le prix total ne change pas selon qu'on paie en une ou deux fois.

Pour compléter une case :

1. Trouve le coefficient de proportionnalité.
2. Pour une case du bas : multiplie la valeur du haut par le coefficient.
3. Pour une case du haut : divise la valeur du bas par le coefficient.
4. Vérifie en regardant une autre colonne.

Coefficient $= 5$. Combien vaut le bas si le haut est $6$ ?

$6 \times 5 = 30$.

Et si le bas est $40$, combien vaut le haut ? $40 \div 5 = 8$.

Tu peux additionner deux colonnes : si « 2 » donne $10$ et « 3 » donne $15$, alors « 5 » donne $10 + 15 = 25$. Pratique quand le coefficient est moins facile !

Passer par l'unité, c'est d'abord calculer la valeur pour 1, puis multiplier par le nombre voulu.

C'est une méthode très sûre pour les problèmes de prix, de vitesse ou de recettes.

Pour passer par l'unité :

1. Calcule la valeur pour 1 (on divise).
2. Multiplie cette valeur par le nombre demandé.
3. Écris la phrase réponse.

5 croissants coûtent $4$ €. Combien coûtent 8 croissants ?

Étape 1 — prix de 1 croissant : $4 \div 5 = 0{,}8$ €.

Étape 2 — prix de 8 croissants : $0{,}8 \times 8 = 6{,}4$ €.

Réponse : 8 croissants coûtent $6{,}4$ €.

« Passer par l'unité » marche toujours, même quand le coefficient n'est pas un nombre rond. C'est ta méthode de secours préférée !

Sur un plan ou une carte, une échelle indique combien de fois la réalité a été réduite.

Une échelle de $\dfrac{1}{100}$ veut dire : $1$ cm sur le plan représente $100$ cm dans la réalité, c'est-à-dire $1$ m.

C'est une situation de proportionnalité : le coefficient est le nombre de l'échelle.

Pour utiliser une échelle :

1. Repère le coefficient (par exemple $100$ pour $\dfrac{1}{100}$).
2. Pour passer du plan à la réalité : multiplie par ce nombre.
3. Pour passer de la réalité au plan : divise par ce nombre.
4. Pense à bien convertir les unités (cm, m).

Échelle $\dfrac{1}{50}$. Un mur mesure $4$ cm sur le plan. Quelle est sa longueur réelle ?

$4 \times 50 = 200$ cm, soit $2$ m.

Plan $\to$ réalité : c'est plus grand, donc on multiplie. Réalité $\to$ plan : c'est plus petit, donc on divise.