🔢Loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$ (de probabilité $p$) et l'échec $\bar{S}$ (de probabilité $1 - p$).

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ consiste à répéter $n$ fois la même épreuve de Bernoulli, de façon indépendante (le résultat d'une épreuve n'influence pas les autres).

On note souvent $q = 1 - p$ la probabilité d'échec.

1. Vérifie qu'il n'y a bien que deux issues : succès / échec.
2. Définis clairement ce qu'est le succès et sa probabilité $p$.
3. Vérifie que les $n$ répétitions sont identiques et indépendantes.
4. Note les paramètres $n$ (nombre d'épreuves) et $p$ (proba de succès).

On lance $3$ fois une pièce équilibrée et on appelle « succès » l'obtention de Pile.

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}5$. Les $3$ lancers, identiques et indépendants, forment un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 3$ et $p = 0{,}5$.

Pour un schéma de Bernoulli, indépendance et même probabilité $p$ à chaque épreuve sont indispensables (penser à un tirage avec remise).

Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (lire « $k$ parmi $n$ ») compte le nombre de façons de choisir les emplacements des $k$ succès parmi les $n$ épreuves, sans tenir compte de l'ordre.

Quelques valeurs utiles :

$\binom{n}{0} = 1, \qquad \binom{n}{n} = 1, \qquad \binom{n}{1} = n.$

Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$. On peut les lire dans le triangle de Pascal, dont la relation est $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? La relation de Pascal $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ se voit d'un coup. Parmi les $n$ épreuves, pointe la première du doigt. Pour placer $k$ succès, soit la première est un succès (il reste alors $k-1$ succès à placer parmi les $n-1$ autres : $\binom{n-1}{k-1}$ façons), soit la première est un échec (il faut placer les $k$ succès parmi les $n-1$ restantes : $\binom{n-1}{k}$ façons). Comme ces deux cas sont séparés et couvrent tout, on additionne : c'est exactement la règle qui construit le triangle de Pascal, chaque nombre étant la somme des deux du dessus.

1. Identifie $n$ (nombre d'épreuves) et $k$ (nombre de succès).
2. Utilise les cas simples : $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$, $\binom{n}{1}=n$.
3. Sinon, lis la valeur dans le triangle de Pascal.
4. Vérifie avec la symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.

Pour $n = 3$ : ligne du triangle de Pascal $1 \; 3 \; 3 \; 1$.

$\binom{3}{0} = 1$, $\binom{3}{1} = 3$, $\binom{3}{2} = 3$, $\binom{3}{3} = 1$.

On vérifie la symétrie : $\binom{3}{2} = \binom{3}{1} = 3$. ✓

$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ : choisir les $k$ succès revient à choisir les $n-k$ échecs. Utilise cette symétrie pour aller plus vite.

Soit $X$ le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. On dit que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$.

Pour tout entier $k$ tel que $0 \le k \le n$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}.$

Interprétation : $\binom{n}{k}$ compte les positions des $k$ succès, $p^k$ est la probabilité des $k$ succès et $(1-p)^{n-k}$ celle des $n-k$ échecs.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Regarde une suite précise donnant $k$ succès, par exemple $SS\bar{S}$ pour $n=3$, $k=2$. Comme les épreuves sont indépendantes, sa probabilité est le produit $p \times p \times (1-p) = p^2(1-p)^1$ : un $p$ par succès, un $(1-p)$ par échec, donc toujours $p^k(1-p)^{n-k}$, quel que soit l'ordre. Or il y a exactement $\binom{n}{k}$ suites différentes ayant $k$ succès, et elles s'excluent l'une l'autre : on les additionne, ce qui revient à multiplier cette probabilité commune par $\binom{n}{k}$. D'où $P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$.

1. Vérifie que $X$ suit bien une loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$.
2. Calcule le coefficient $\binom{n}{k}$.
3. Calcule $p^k$ et $(1-p)^{n-k}$.
4. Multiplie les trois : $P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$.

$X$ suit $\mathcal{B}(3 ; 0{,}5)$. Calcul de $P(X = 2)$ :

$\binom{3}{2} = 3$, $p^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$, $(1-p)^{3-2} = 0{,}5^1 = 0{,}5$.

$P(X = 2) = 3 \times 0{,}25 \times 0{,}5 = 3 \times 0{,}125 = 0{,}375.$

L'exposant de $p$ (succès) plus celui de $(1-p)$ (échecs) doit toujours valoir $n$ : ici $2 + 1 = 3$. Si ce n'est pas le cas, tu as fait une erreur.

On calcule souvent des probabilités d'événements composés :

• $P(X \le k)$ : « au plus $k$ succès » $= P(X=0)+\dots+P(X=k)$.
• $P(X \ge k)$ : « au moins $k$ succès ».

Astuce du complémentaire : « au moins $1$ succès » est le contraire de « aucun succès », donc

$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n.$

À la calculatrice, on utilise les fonctions de loi binomiale cumulée.

1. Traduis l'énoncé : « au plus » $\to X \le k$, « au moins » $\to X \ge k$.
2. Pour « au moins 1 », passe par le contraire : $1 - P(X = 0)$.
3. Sinon, additionne les $P(X = i)$ nécessaires.
4. Vérifie que la probabilité finale est entre $0$ et $1$.

$X$ suit $\mathcal{B}(3 ; 0{,}5)$. Probabilité d'« au moins un succès » :

$P(X = 0) = \binom{3}{0}\,0{,}5^0\,0{,}5^3 = 1 \times 1 \times 0{,}125 = 0{,}125$.

$P(X \ge 1) = 1 - 0{,}125 = 0{,}875.$

Pour « au moins un », pense toujours au complémentaire $1 - P(X=0)$ : c'est bien plus rapide que d'additionner tous les cas.

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$, son espérance est :

$E(X) = n \, p.$

C'est le nombre moyen de succès sur $n$ épreuves : intuitivement, une proportion $p$ des $n$ épreuves réussit.

On admet aussi les formules de dispersion :

$V(X) = n\,p\,(1-p) \qquad \text{et} \qquad \sigma(X) = \sqrt{n\,p\,(1-p)}.$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Note $X_i$ qui vaut $1$ si la $i$-ème épreuve est un succès, $0$ sinon. Le nombre total de succès est simplement $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$. Chaque $X_i$ a pour espérance $E(X_i) = 1 \times p + 0 \times (1-p) = p$. En additionnant les $n$ espérances (l'espérance d'une somme est la somme des espérances), on obtient $E(X) = \underbrace{p + p + \dots + p}_{n \text{ termes}} = np$. C'est la traduction exacte de l'idée « en moyenne, une proportion $p$ des $n$ épreuves réussit ».

1. Identifie les paramètres $n$ et $p$ de la loi binomiale.
2. Pour l'espérance : multiplie $E(X) = n \, p$.
3. Pour la variance : $V(X) = n\,p\,(1-p)$.
4. Pour l'écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

$X$ suit $\mathcal{B}(3 ; 0{,}5)$.

$E(X) = n\,p = 3 \times 0{,}5 = 1{,}5$ (en moyenne $1{,}5$ Pile sur 3 lancers).

$V(X) = n\,p\,(1-p) = 3 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75$, donc $\sigma(X) = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}87$.

$E(X) = np$ : retiens-la, c'est la formule la plus utilisée. Inutile de tout recalculer terme par terme pour l'espérance d'une binomiale.