📊Variables aléatoires

Une variable aléatoire $X$ associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel.

La loi de probabilité de $X$ est le tableau qui, à chaque valeur possible $x_i$, associe sa probabilité $p_i = P(X = x_i)$.

Propriété fondamentale : les probabilités sont positives et leur somme vaut $1$ :

$\sum_i p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1.$

1. Liste toutes les valeurs possibles $x_i$ de $X$.
2. Calcule la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ de chacune.
3. Range le tout dans un tableau (valeurs / probabilités).
4. Vérifie que la somme des $p_i$ vaut $1$.

On lance un dé équilibré et $X$ donne $0$ si le résultat est impair, $10$ si le résultat est pair. Loi de $X$ :

Vérification : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$. ✓

La somme des probabilités d'une loi vaut toujours 1. C'est ta vérification systématique avant tout calcul d'espérance.

L'espérance de $X$, notée $E(X)$, est la moyenne des valeurs pondérée par les probabilités :

$E(X) = \sum_i x_i \, p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n.$

C'est la valeur moyenne qu'on obtiendrait en moyenne si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois (lien avec la loi des grands nombres).

Pour un jeu, si $X$ est le gain algébrique, le jeu est dit équitable lorsque $E(X) = 0$ : en moyenne, on ne gagne ni ne perd.

1. Écris la loi de probabilité complète (valeurs et probabilités).
2. Multiplie chaque valeur $x_i$ par sa probabilité $p_i$.
3. Additionne tous ces produits.
4. Interprète : valeur moyenne attendue (ou gain moyen pour un jeu).

Loi de $X$ :

$E(X) = 0 \times 0{,}5 + 10 \times 0{,}5 = 0 + 5 = 5.$

En moyenne, $X$ vaut $5$.

L'espérance n'est pas forcément une valeur possible de $X$ : ici $E(X) = 5$ alors que $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $10$. C'est normal.

La variance $V(X)$ mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance. On note $\mu = E(X)$. Définition :

$V(X) = \sum_i (x_i - \mu)^2 \, p_i \;\ge 0.$

On utilise souvent la formule de König–Huygens, plus rapide :

$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2, \qquad \text{où } E(X^2) = \sum_i x_i^2 \, p_i.$

La variance est toujours positive ou nulle.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Développons le carré dans la définition : $(x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2\mu\,x_i + \mu^2$. En multipliant par $p_i$ et en sommant, la variance se coupe en trois morceaux : $\sum x_i^2 p_i - 2\mu \sum x_i p_i + \mu^2 \sum p_i$. Or $\sum x_i^2 p_i = E(X^2)$, $\sum x_i p_i = \mu$ et $\sum p_i = 1$, donc le tout vaut $E(X^2) - 2\mu\cdot\mu + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2$. C'est exactement König–Huygens : la formule rapide n'est rien d'autre que la définition, simplement développée !

1. Calcule l'espérance $\mu = E(X)$.
2. Calcule $E(X^2) = \sum x_i^2 \, p_i$ (on élève les valeurs au carré).
3. Applique $V(X) = E(X^2) - \mu^2$.
4. Vérifie que le résultat est positif (sinon, erreur).

Loi de $X$ : $x_i \in \{0 ; 10\}$ avec $p_i = 0{,}5$ chacun. On a $\mu = E(X) = 5$.

$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}5 + 10^2 \times 0{,}5 = 0 + 50 = 50.$

$V(X) = E(X^2) - \mu^2 = 50 - 5^2 = 50 - 25 = 25.$

König–Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ est presque toujours plus rapide. Attention : $E(X^2) \neq E(X)^2$ en général !

L'écart-type de $X$ est la racine carrée de la variance :

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$

Comme l'écart-type d'une série statistique, il mesure la dispersion dans la même unité que $X$ (la variance, elle, est en unité²).

Un écart-type petit signifie que les valeurs de $X$ sont resserrées autour de $E(X)$ ; un écart-type grand signifie qu'elles sont dispersées.

1. Calcule la variance $V(X)$.
2. Prends la racine carrée : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
3. Vérifie l'unité : la même que $X$.
4. Plus $\sigma(X)$ est petit, plus $X$ est régulière.

On a trouvé $V(X) = 25$ pour la variable précédente.

$\sigma(X) = \sqrt{25} = 5.$

Les valeurs de $X$ s'écartent en moyenne de $5$ autour de l'espérance $5$.

L'écart-type est toujours positif. Si tu obtiens une variance négative, c'est forcément une erreur de calcul : reprends $E(X^2)$.

Pour tous réels $a$ et $b$, l'espérance de la variable $aX + b$ vaut :

$E(aX + b) = a\,E(X) + b.$

C'est la linéarité de l'espérance. Côté dispersion, on a aussi :

$V(aX + b) = a^2 \, V(X) \qquad \text{et} \qquad \sigma(aX + b) = |a| \, \sigma(X).$

L'ajout de la constante $b$ décale la variable mais ne change pas sa dispersion : $b$ n'apparaît pas dans la variance.

⭐ Pour les curieux — pourquoi $b$ disparaît dans la variance ? L'écart à la moyenne de $aX+b$ se calcule tout seul : sa valeur est $a x_i + b$ et son espérance est $a\mu + b$, donc l'écart vaut $(a x_i + b) - (a\mu + b) = a(x_i - \mu)$ — le $+b$ se simplifie ! En élevant au carré on obtient $a^2 (x_i - \mu)^2$, d'où $V(aX+b) = a^2\,V(X)$. Ajouter $b$ décale toutes les valeurs ET la moyenne d'autant : les écarts ne bougent pas. Et le carré transforme bien le facteur $a$ en $a^2$.

1. Identifie les coefficients $a$ et $b$ de la transformation $aX + b$.
2. Pour l'espérance : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$.
3. Pour la variance : $V(aX + b) = a^2 \, V(X)$ ($b$ disparaît).
4. Pour l'écart-type : $\sigma(aX + b) = |a| \, \sigma(X)$.

On a $E(X) = 5$ et $V(X) = 25$. On pose $Y = 2X + 3$.

$E(Y) = 2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13.$

$V(Y) = 2^2 \times 25 = 4 \times 25 = 100$, donc $\sigma(Y) = \sqrt{100} = 10$.

Dans la variance, le $+b$ disparaît et le $a$ devient $a^2$. Erreur classique : écrire $V(aX+b) = a\,V(X) + b$ — c'est faux !