✳️Le second degré

Un trinôme du second degré est une expression de la forme

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0.$

Les réels $a$, $b$, $c$ sont les coefficients ; la condition $a \neq 0$ est indispensable (sinon le terme en $x^2$ disparaît).

Tout trinôme peut s'écrire sous sa forme canonique

$f(x) = a\left(x - \alpha\right)^2 + \beta, \quad \text{avec } \alpha = -\dfrac{b}{2a} \text{ et } \beta = f(\alpha).$

Le couple $(\alpha\,;\,\beta)$ donne les coordonnées du sommet de la parabole représentant $f$.

Pour obtenir la forme canonique de $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

1. Calcule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.
2. Calcule $\beta = f(\alpha)$ en remplaçant $x$ par $\alpha$.
3. Écris $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$.

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$ (ici $a = 1$, $b = -4$, $c = 1$).

1. $\alpha = -\dfrac{-4}{2 \times 1} = \dfrac{4}{2} = 2$.

2. $\beta = f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.

3. Forme canonique : $f(x) = (x - 2)^2 - 3$.

Vérification (développement) : $(x-2)^2 - 3 = x^2 - 4x + 4 - 3 = x^2 - 4x + 1$. C'est bien $f(x)$.

Le sommet a pour abscisse $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ : attention au signe « moins » devant $b$ et au $2a$ au dénominateur (pas seulement $a$).

On appelle discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$ le nombre

$\Delta = b^2 - 4ac.$

Le signe de $\Delta$ donne le nombre de racines réelles de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ :

$\bullet$ si $\Delta > 0$ : deux racines distinctes ;

$\bullet$ si $\Delta = 0$ : une racine double ;

$\bullet$ si $\Delta < 0$ : aucune racine réelle.

1. Identifie soigneusement $a$, $b$ et $c$ (avec leurs signes).
2. Calcule $\Delta = b^2 - 4ac$.
3. Compare $\Delta$ à $0$ pour conclure sur le nombre de racines.

Soit $x^2 - 5x + 6 = 0$ ($a = 1$, $b = -5$, $c = 6$).

$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$.

Comme $\Delta = 1 > 0$, l'équation possède deux racines distinctes.

Calcule $b^2$ comme un carré : $(-5)^2 = 25$ (positif), pas $-25$. Et n'oublie pas le facteur $4$ devant $ac$ dans $-4ac$.

Lorsque $\Delta > 0$, les deux racines sont

$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.$

Lorsque $\Delta = 0$, l'unique racine (double) est $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.

Factorisation. Si $\Delta \geq 0$, on peut factoriser :

$\bullet$ si $\Delta > 0$ : $\;ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ ;

$\bullet$ si $\Delta = 0$ : $\;ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$.

Si $\Delta < 0$, le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? La formule magique des racines, on peut la fabriquer soi-même à partir de la forme canonique. Résoudre $ax^2+bx+c=0$ revient à résoudre $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a}=0$, c'est-à-dire $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2} = \dfrac{\Delta}{4a^2}$. Tout se joue là : un carré ne peut pas être négatif, donc il n'y a pas de solution quand $\Delta<0$, et une seule (le carré nul) quand $\Delta=0$. Et si $\Delta>0$, on prend la racine carrée des deux côtés : $x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$, ce qui donne pile $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$. La formule n'est donc pas tombée du ciel : c'est juste la forme canonique qu'on déplie.

1. Calcule $\Delta$ et vérifie qu'il est positif ou nul.
2. Calcule $\sqrt{\Delta}$.
3. Applique les formules $x_1$ et $x_2$ (attention au signe de $-b$).
4. Écris la forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Reprenons $x^2 - 5x + 6 = 0$, où $\Delta = 1$ donc $\sqrt{\Delta} = 1$.

$x_1 = \dfrac{-(-5) - 1}{2 \times 1} = \dfrac{5 - 1}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \dfrac{-(-5) + 1}{2 \times 1} = \dfrac{5 + 1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$.

Les racines sont $2$ et $3$ ; factorisation : $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Vérification : $(x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$. Parfait.

Pense à vérifier tes racines en les réinjectant : $2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$. Si tu n'obtiens pas $0$, il y a une erreur de calcul.

Si le trinôme $ax^2 + bx + c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement égales), alors

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}.$

Ce sont les relations de Viète. Elles permettent de contrôler des racines ou de trouver « de tête » deux nombres dont on connaît la somme $S$ et le produit $P$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Il suffit de développer la forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$. On obtient $a\big(x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 x_2\big) = ax^2 - a(x_1+x_2)\,x + a\,x_1 x_2$. Comme c'est exactement le même trinôme que $ax^2+bx+c$, les coefficients doivent coïncider terme à terme : le coefficient de $x$ donne $-a(x_1+x_2)=b$, donc $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ ; le terme constant donne $a\,x_1 x_2 = c$, donc $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Les deux relations ne sont rien d'autre que ce qu'on lit quand on identifie le trinôme développé et factorisé.

Pour trouver deux racines de tête (cas $a = 1$) :

1. La somme cherchée est $S = -b$ et le produit $P = c$.
2. Cherche deux nombres dont la somme vaut $S$ et le produit $P$.
3. Vérifie avec $\Delta$ s'il y a un doute.

Pour $x^2 - 5x + 6$ : $S = x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{1} = 5$ et $P = x_1 \times x_2 = \dfrac{6}{1} = 6$.

On cherche deux nombres de somme $5$ et de produit $6$ : ce sont $2$ et $3$ (car $2 + 3 = 5$ et $2 \times 3 = 6$).

On retrouve bien les racines $2$ et $3$ sans calculer le discriminant.

Mémo : la somme fait intervenir $-\dfrac{b}{a}$ (avec un signe moins), le produit fait intervenir $\dfrac{c}{a}$ (sans signe moins).

Le signe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ dépend de $a$ et de $\Delta$.

$\bullet$ Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ est toujours du signe de $a$ (jamais nul).

$\bullet$ Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ partout, sauf en $x_0$ où $f(x_0) = 0$.

$\bullet$ Si $\Delta > 0$ (racines $x_1 < x_2$) : $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe de $-a$ entre les racines.

Formule à retenir : « du signe de $a$ partout, sauf entre les racines ».

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Quand il y a deux racines, on écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$, et il suffit de surveiller le signe des deux parenthèses. Si $x$ est plus petit que les deux racines, $(x-x_1)$ et $(x-x_2)$ sont toutes deux négatives : leur produit est positif, donc $f$ est du signe de $a$. Si $x$ est plus grand que les deux, les deux parenthèses sont positives : encore du signe de $a$. Mais entre les racines, une parenthèse est positive et l'autre négative : leur produit change de signe, et $f$ prend le signe de $-a$. Voilà pourquoi c'est « du signe de $a$ partout, sauf entre les racines » : c'est la règle des signes appliquée à deux facteurs qui ne basculent qu'en passant une racine.

1. Calcule $\Delta$ et, s'il y a lieu, les racines $x_1$ et $x_2$.
2. Repère le signe de $a$.
3. Dresse le tableau de signes : signe de $a$ à l'extérieur, signe de $-a$ entre les racines.

Étudions le signe de $f(x) = x^2 - 5x + 6$ ($a = 1 > 0$, racines $2$ et $3$).

Test : $f(0) = 6 > 0$ (à l'extérieur) et $f(2{,}5) = 6{,}25 - 12{,}5 + 6 = -0{,}25 < 0$ (entre les racines). Cohérent.

« Du signe de $a$ partout, sauf entre les racines » : si $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut, donc négative entre ses deux racines.

Résoudre une inéquation du second degré (par exemple $ax^2 + bx + c > 0$, ou $\geq$, $<$, $\leq$), c'est trouver l'ensemble des $x$ rendant l'inégalité vraie.

La méthode repose entièrement sur le tableau de signes du trinôme : on lit dans ce tableau les intervalles où le signe convient.

Attention aux inégalités larges ($\geq$ ou $\leq$) : les racines, où le trinôme s'annule, sont alors incluses dans la solution.

1. Ramène tout d'un même côté pour comparer le trinôme à $0$.
2. Étudie le signe du trinôme (discriminant, racines, signe de $a$).
3. Sélectionne les intervalles où l'inégalité est vérifiée.
4. Inclus ou non les bornes selon que l'inégalité est large ou stricte.

Résolvons $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.

Le trinôme a pour racines $2$ et $3$ et $a = 1 > 0$ : il est négatif entre les racines.

L'inégalité étant large ($\leq$), on inclut $2$ et $3$.

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $[2\,;\,3]$.

Ne « divise » jamais une inéquation par $x$ ou par une expression de signe inconnu : passe toujours par le tableau de signes du trinôme.