🔢Suites numériques et suites arithmétiques

Une suite numérique $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres indexés par les entiers naturels : $u_0, u_1, u_2, \dots, u_n, \dots$

Le nombre $u_n$ est le terme de rang $n$ (ou terme d'indice $n$). On dit que $n$ est l'indice et $u_n$ le terme correspondant.

Attention à ne pas confondre $u_n$ (le terme) et $n$ (son rang). Le premier terme est souvent $u_0$, parfois $u_1$ : lis bien l'énoncé.

1. Repère le premier indice (le plus souvent $n = 0$ ou $n = 1$).
2. Pour calculer un terme, remplace $n$ par sa valeur.
3. Vérifie que tu réponds bien sur le bon rang demandé.

Soit la suite définie par $u_n = 3n + 2$.

$u_0 = 3 \times 0 + 2 = 2$, $\;u_1 = 3 \times 1 + 2 = 5$, $\;u_2 = 3 \times 2 + 2 = 8$.

Les premiers termes sont donc $2, 5, 8, \dots$

$u_n$ est un nombre (le terme), $n$ est un entier (le rang). « Calculer $u_4$ » signifie remplacer $n$ par $4$.

Une suite est définie de façon explicite quand on donne une formule du type $u_n = f(n)$ permettant de calculer directement $u_n$ à partir de $n$.

Avantage : on peut calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents. Par exemple $u_{100}$ se calcule en une étape.

1. Repère la formule $u_n = f(n)$.
2. Remplace $n$ par la valeur souhaitée.
3. Effectue le calcul : tu obtiens directement le terme.

Soit $u_n = n^2 - 1$ (forme explicite).

$u_5 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.

On obtient $u_5$ directement, sans calculer $u_0, u_1, \dots, u_4$.

Forme explicite = « formule directe » : pratique pour atteindre un terme lointain comme $u_{1000}$ en une seule ligne de calcul.

Une suite est définie par récurrence quand on donne :

$\bullet$ son premier terme (par exemple $u_0$) ;

$\bullet$ une relation exprimant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

Pour calculer un terme, il faut connaître le précédent : on calcule donc « de proche en proche ».

1. Note le premier terme donné.
2. Applique la relation de récurrence pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$.
3. Répète jusqu'au rang voulu, terme après terme.

Soit $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$.

$u_1 = 2 \times 3 + 1 = 7$.

$u_2 = 2 \times 7 + 1 = 15$.

$u_3 = 2 \times 15 + 1 = 31$.

On ne peut pas obtenir $u_3$ sans avoir d'abord $u_2$, puis $u_1$.

Récurrence = « on a besoin du terme d'avant ». Impossible de sauter directement à $u_{100}$ : il faut tous les termes intermédiaires.

Une suite $(u_n)$ est :

$\bullet$ croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ ;

$\bullet$ décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ ;

$\bullet$ constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$.

Pour étudier le sens de variation, on étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ : positive $\Rightarrow$ croissante, négative $\Rightarrow$ décroissante.

1. Calcule la différence $d = u_{n+1} - u_n$ en fonction de $n$.
2. Étudie le signe de cette différence.
3. Conclus : signe $+$ $\Rightarrow$ croissante, signe $-$ $\Rightarrow$ décroissante.

Soit $u_n = 3n + 2$.

$u_{n+1} - u_n = \big(3(n+1) + 2\big) - (3n + 2) = 3n + 3 + 2 - 3n - 2 = 3$.

Cette différence vaut $3 > 0$ pour tout $n$ : la suite est strictement croissante.

Étudier $u_{n+1} - u_n$ marche toujours. Pour une suite arithmétique, cette différence est constante : c'est justement la raison.

Une suite $(u_n)$ est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé raison :

$u_{n+1} = u_n + r.$

La raison se calcule par la différence de deux termes consécutifs : $r = u_{n+1} - u_n$.

Le terme général s'exprime alors directement :

$u_n = u_0 + n\,r \qquad \text{ou, à partir de } u_1 : \quad u_n = u_1 + (n-1)r.$

Une suite arithmétique est croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? La formule $u_n = u_0 + nr$ se voit comme un escalier à marches égales. Pour aller de $u_0$ jusqu'à $u_n$, on monte une marche de hauteur $r$ à chaque pas, et il y a exactement $n$ pas (de $u_0$ à $u_1$, de $u_1$ à $u_2$, ..., de $u_{n-1}$ à $u_n$). On ajoute donc $r$ en tout $n$ fois : $u_n = u_0 + \underbrace{r + r + \dots + r}_{n \text{ fois}} = u_0 + n\,r$. C'est pour ça que le rang $n$ apparaît comme un simple facteur multiplicatif devant $r$ : compter les pas, c'est compter les $r$ ajoutés.

1. Vérifie que $u_{n+1} - u_n$ est constante : c'est la raison $r$.
2. Repère le premier terme ($u_0$ ou $u_1$).
3. Applique $u_n = u_0 + nr$ pour atteindre n'importe quel rang.

Soit $(u_n)$ arithmétique avec $u_0 = 4$ et raison $r = 3$.

$u_n = u_0 + nr = 4 + 3n$.

$u_{10} = 4 + 3 \times 10 = 4 + 30 = 34$.

Vérification de proche en proche : $u_0 = 4$, $u_1 = 7$, $u_2 = 10$ : on ajoute bien $3$ à chaque étape.

Pour montrer qu'une suite est arithmétique, calcule $u_{n+1} - u_n$ : si tu obtiens un nombre fixe, c'est gagné ; ce nombre est la raison.

La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut

$S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.$

Cas particulier célèbre, la somme des entiers de $1$ à $n$ :

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}.$

1. Compte le nombre de termes $N$ de la somme.
2. Repère le premier et le dernier terme.
3. Applique $S = N \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.

Calculons $1 + 2 + 3 + \dots + 100$.

Il y a $100$ termes ; premier $= 1$, dernier $= 100$.

$S = 100 \times \dfrac{1 + 100}{2} = 100 \times \dfrac{101}{2} = 50 \times 101 = 5050$.

C'est le calcul attribué au jeune Gauss.

Pourquoi ça marche (l'idée du jeune Gauss) : écris la somme à l'endroit, puis à l'envers juste en dessous :

$S = 1 + 2 + \dots + 99 + 100$

$S = 100 + 99 + \dots + 2 + 1$

Colonne par colonne, chaque paire fait $101$, et il y a $100$ colonnes : $2S = 100 \times 101$, donc $S = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$. La formule $\dfrac{N(\text{premier}+\text{dernier})}{2}$ n'est que ça, en général.