🔁Échantillonnage et simulation

Un échantillon de taille $n$ est obtenu en répétant $n$ fois, de façon indépendante, la même expérience aléatoire.

La fréquence d'un résultat dans l'échantillon est :

$f = \dfrac{\text{nombre de fois où le résultat apparaît}}{n}.$

C'est un nombre compris entre $0$ et $1$ (qu'on peut aussi exprimer en pourcentage). La fréquence se mesure sur des données réelles ou simulées.

1. Repère la taille $n$ de l'échantillon (nombre de répétitions).
2. Compte les apparitions du résultat étudié.
3. Divise par $n$ pour obtenir la fréquence $f$.
4. Convertis en pourcentage si besoin ($f \times 100$).

On lance une pièce $200$ fois et on obtient $108$ fois Pile.

$f(\text{Pile}) = \dfrac{108}{200} = 0{,}54$, soit $54\,\%$.

La fréquence est toujours entre 0 et 1. Si tu obtiens plus de 1, tu as sans doute oublié de diviser par $n$.

Il faut bien distinguer :

• la probabilité $p$ : valeur théorique, fixée par le modèle (ex. $p = 0{,}5$ pour Pile avec une pièce équilibrée) ;
• la fréquence $f$ : valeur observée sur un échantillon, qui varie d'un échantillon à l'autre.

Loi des grands nombres (idée) : quand la taille $n$ de l'échantillon augmente, la fréquence $f$ a tendance à se rapprocher de la probabilité $p$.

1. Identifie la probabilité théorique $p$ donnée par le modèle.
2. Calcule la fréquence observée $f$ sur l'échantillon.
3. Compare : un petit échantillon peut donner un $f$ éloigné de $p$.
4. Retiens : plus $n$ est grand, plus $f$ se rapproche de $p$ en général.

Pièce équilibrée : $p(\text{Pile}) = 0{,}5$.

• Sur $10$ lancers : $7$ Piles, donc $f = 0{,}7$ (assez loin de $0{,}5$).
• Sur $1000$ lancers : $507$ Piles, donc $f = 0{,}507$ (très proche de $0{,}5$).

Fréquence ≠ probabilité. La probabilité est fixe ; la fréquence fluctue et s'en rapproche quand l'échantillon grandit.

Si on prélève plusieurs échantillons de même taille $n$ pour la même expérience, les fréquences observées ne sont pas toutes identiques : elles varient autour de la probabilité $p$.

Ce phénomène s'appelle la fluctuation d'échantillonnage.

Règle importante : plus la taille $n$ de l'échantillon est grande, moins les fréquences fluctuent (elles sont plus resserrées autour de $p$).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi un grand échantillon fluctue-t-il moins ? Parce qu'un résultat isolé y pèse beaucoup moins lourd. Si tu lances une pièce $10$ fois, un seul Pile en plus ou en moins fait bouger la fréquence de $\dfrac{1}{10} = 0{,}1$ d'un coup. Mais sur $1000$ lancers, un Pile de plus ne change la fréquence que de $\dfrac{1}{1000} = 0{,}001$ : un détail. Comme chaque résultat individuel a de moins en moins d'influence, $f$ se retrouve mécaniquement « coincée » tout près de $p$, et les écarts d'un échantillon à l'autre se resserrent.

1. Prélève plusieurs échantillons de même taille $n$.
2. Calcule la fréquence $f$ pour chacun.
3. Observe l'écart entre ces fréquences : c'est la fluctuation.
4. Refais l'expérience avec un $n$ plus grand : la fluctuation diminue.

Pièce équilibrée ($p = 0{,}5$), trois échantillons de taille $50$ :

• Échantillon 1 : $f_1 = 0{,}46$
• Échantillon 2 : $f_2 = 0{,}52$
• Échantillon 3 : $f_3 = 0{,}48$

Les fréquences fluctuent autour de $0{,}5$ sans jamais l'atteindre exactement.

Deux échantillons qui donnent des fréquences différentes, ce n'est pas une erreur : c'est la fluctuation d'échantillonnage, c'est normal.

Simuler une expérience aléatoire, c'est la reproduire (souvent avec un ordinateur ou une calculatrice) en utilisant le hasard pour estimer une probabilité difficile à calculer.

On utilise des nombres aléatoires : par exemple, un entier tiré au hasard entre $1$ et $6$ simule un lancer de dé, et un nombre décimal tiré entre $0$ et $1$ permet de simuler un événement de probabilité $p$ (le résultat est « réussi » si le nombre tiré est $< p$).

En Python, la fonction random.random() renvoie un décimal de $[0 ; 1[$.

1. Choisis un codage des issues avec le hasard (entiers, décimaux).
2. Programme une répétition de l'expérience.
3. Répète un grand nombre $n$ de fois et compte les succès.
4. Estime la probabilité par la fréquence $f = \dfrac{\text{succès}}{n}$.

Simuler un lancer de pièce avec random :

import random
succes = 0
n = 1000
for _ in range(n):
    if random.random() < 0.5:   # 'Pile' avec probabilité 0,5
        succes += 1
print(succes / n)   # fréquence ≈ 0,5

Une simulation estime une probabilité, elle ne la prouve pas. Plus $n$ est grand, plus l'estimation est fiable.

Quand on connaît la probabilité $p$, on peut prévoir un intervalle dans lequel la fréquence $f$ d'un échantillon de taille $n$ a de grandes chances de tomber : c'est un intervalle de fluctuation.

Au lycée, on en retient l'idée : la fréquence observée est presque toujours proche de $p$, et cet intervalle est centré sur $p$. Sa largeur diminue quand $n$ augmente.

Un encadrement simple souvent utilisé est $\left[\, p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \; ; \; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,\right]$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi cette largeur en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ et pas en $\dfrac{1}{n}$ ? Parce que la fluctuation diminue, mais lentement. Regarde la demi-largeur : pour $n = 100$ elle vaut $\dfrac{1}{\sqrt{100}} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$ ; pour $n = 10\,000$ (donc $100$ fois plus de lancers !) elle vaut $\dfrac{1}{\sqrt{10\,000}} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$. On a multiplié l'échantillon par $100$ mais l'intervalle n'a rétréci que de $10$ : c'est tout le sens du $\sqrt{\;}$. Moralité : pour être deux fois plus précis sur $f$, il ne faut pas deux fois plus de données, mais quatre fois plus.

1. Identifie la probabilité $p$ et la taille $n$ de l'échantillon.
2. Retiens que l'intervalle est centré sur $p$.
3. Sa largeur diminue quand $n$ grandit (la fluctuation se réduit).
4. Si $f$ tombe hors de l'intervalle, on peut douter du modèle.

Pièce équilibrée, $p = 0{,}5$, échantillon de taille $n = 100$.

Avec l'encadrement $\left[\,0{,}5 - \dfrac{1}{\sqrt{100}} ; 0{,}5 + \dfrac{1}{\sqrt{100}}\,\right] = [\,0{,}4 ; 0{,}6\,]$ : on s'attend à observer entre $40$ et $60$ Piles.

Une fréquence hors de l'intervalle de fluctuation est un signal : la pièce (ou le dé) est peut-être truqué(e).

L'intervalle de fluctuation permet de décider si une affirmation (« la pièce est équilibrée », « le dé est honnête ») est crédible.

• Si la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation : le résultat est compatible avec le modèle (on ne le rejette pas).
• Si elle est en dehors : le résultat est suspect, on a une raison de remettre en cause le modèle.

Attention : être hors de l'intervalle ne prouve pas que le modèle est faux, cela donne seulement un doute raisonnable.

1. Calcule la fréquence observée $f$ sur l'échantillon.
2. Détermine l'intervalle de fluctuation associé à $p$ et $n$.
3. Regarde si $f$ est dedans ou dehors.
4. Conclus : compatible (dedans) ou doute sur le modèle (dehors).

On affirme qu'une pièce est équilibrée. Intervalle (pour $n=100$) : $[\,0{,}4 ; 0{,}6\,]$.

• On observe $54$ Piles : $f = 0{,}54 \in [\,0{,}4 ; 0{,}6\,]$ $\to$ compatible, rien d'anormal.
• On observe $72$ Piles : $f = 0{,}72 \notin [\,0{,}4 ; 0{,}6\,]$ $\to$ doute : la pièce est peut-être truquée.

On ne prouve jamais qu'un modèle est exact : on dit seulement qu'il est compatible ou non avec les observations.