🎲Probabilités

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avant de la réaliser (lancer un dé, tirer une carte…).

• L'ensemble de tous les résultats possibles est l'univers, noté $\Omega$.
• Un événement est une partie de l'univers (un ensemble de résultats).
• Un événement réalisé par un seul résultat est un événement élémentaire.

Exemple : pour un dé à 6 faces, $\Omega = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$ et « obtenir un nombre pair » est l'événement $\{2 ; 4 ; 6\}$.

1. Identifie l'expérience et liste tous les résultats possibles : c'est $\Omega$.
2. Compte le nombre total d'issues (le cardinal de $\Omega$).
3. Pour un événement, repère les résultats qui le réalisent.
4. Écris l'événement comme un sous-ensemble de $\Omega$.

On lance une pièce deux fois de suite. $\Omega = \{PP ; PF ; FP ; FF\}$ (4 issues).

Événement $A$ = « obtenir exactement un Face » $= \{PF ; FP\}$ (2 issues).

Avant tout calcul, écris l'univers en entier : compter correctement les issues est la base de tout le chapitre.

La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure la chance que $A$ se réalise.

• $P(A) = 0$ : événement impossible.
• $P(A) = 1$ : événement certain.
• La somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut $1$.

Une probabilité peut s'écrire en fraction ou en décimal : par exemple $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

1. Vérifie que la valeur trouvée est bien entre $0$ et $1$.
2. Une probabilité proche de $0$ = événement rare ; proche de $1$ = événement fréquent.
3. Pour passer d'une fraction à un décimal, effectue la division.
4. La somme des probabilités élémentaires doit toujours faire $1$.

Une urne contient $3$ boules rouges et $1$ boule verte (4 boules). On en tire une au hasard.

$P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ et $P(\text{verte}) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

Vérification : $0{,}75 + 0{,}25 = 1$. ✓

Si tu trouves une probabilité plus grande que 1 ou négative, c'est forcément une erreur : recompte tes issues.

Il y a équiprobabilité quand tous les résultats de l'expérience ont la même probabilité (dé équilibré, pièce non truquée, tirage au hasard).

Dans ce cas, pour un événement $A$ :

$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}.$

C'est la formule « cas favorables sur cas possibles ».

1. Vérifie que la situation est bien équiprobable (« au hasard », « équilibré »).
2. Compte le nombre total d'issues (dénominateur).
3. Compte les issues favorables à $A$ (numérateur).
4. Forme la fraction et simplifie si possible.

On lance un dé équilibré à 6 faces. Événement $A$ = « obtenir un multiple de 3 ».

Issues favorables : $\{3 ; 6\}$, soit $2$ issues sur $6$.

$P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$.

La formule « favorables / possibles » ne marche que si les issues sont équiprobables. Pour un dé truqué, elle est fausse !

L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$, est l'événement « $A$ ne se réalise pas ». Il est composé de toutes les issues qui ne sont pas dans $A$.

Comme $A$ et $\bar{A}$ se partagent tout l'univers sans se recouvrir :

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad \text{donc} \qquad P(A) = 1 - P(\bar{A}).$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que chaque issue de l'univers porte une étiquette : soit elle est dans $A$, soit elle ne l'est pas, jamais les deux, et il n'y en a pas une seule de laissée de côté. Les issues de $A$ et celles de $\bar{A}$ se partagent donc tout l'univers. En additionnant la probabilité d'être dans $A$ et celle de ne pas y être, on couvre exactement toutes les issues : comme la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$, on a $P(A) + P(\bar{A}) = 1$. Il suffit alors de faire passer $P(A)$ de l'autre côté pour obtenir $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. C'est le même principe que « ceux qui ont réussi » + « ceux qui ont raté » = toute la classe.

1. Décris en mots l'événement contraire (« il n'y a pas… », « au moins un… »).
2. Si $P(A)$ est connue, applique $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
3. Utilise cette astuce quand $\bar{A}$ est plus simple à compter que $A$.
4. Vérifie : $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

On lance un dé équilibré. $A$ = « obtenir 6 », donc $P(A) = \dfrac{1}{6}$.

$\bar{A}$ = « ne pas obtenir 6 » et $P(\bar{A}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}83$.

Le contraire de « au moins un » est « aucun » : c'est souvent bien plus rapide de passer par $\bar{A}$.

Pour deux événements $A$ et $B$ :

• La réunion $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») est réalisée si $A$ ou $B$ (ou les deux) se réalise.
• L'intersection $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») est réalisée si $A$ et $B$ se réalisent en même temps.

Deux événements sont incompatibles quand ils ne peuvent pas se produire ensemble : $A \cap B = \varnothing$, donc $P(A \cap B) = 0$.

1. Traduis « ou » par $\cup$ et « et » par $\cap$.
2. Pour $A \cap B$, cherche les issues présentes dans les deux événements.
3. Pour $A \cup B$, regroupe les issues de $A$ et de $B$ sans les compter deux fois.
4. Si $A \cap B$ est vide, $A$ et $B$ sont incompatibles.

Dé équilibré. $A$ = « pair » $= \{2;4;6\}$, $B$ = « multiple de 3 » $= \{3;6\}$.

$A \cap B = \{6\}$ (issue commune) et $A \cup B = \{2;3;4;6\}$.

$A$ et $B$ ne sont pas incompatibles car ils partagent l'issue $6$.

$\cup$ = OU = réunion (le tout), $\cap$ = ET = intersection (le commun). Pense au $\cap$ comme à un « toit » qui ne garde que le commun.

Pour deux événements quelconques $A$ et $B$ :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$

On retranche $P(A \cap B)$ pour ne pas compter deux fois les issues communes aux deux événements.

Cas particulier : si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cap B) = 0$ et la formule devient $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pour calculer $P(A \cup B)$, on voudrait juste additionner $P(A)$ et $P(B)$, mais il y a un piège : les issues présentes à la fois dans $A$ et dans $B$ (donc dans $A \cap B$) sont comptées une fois dans $A$ et une fois dans $B$, soit deux fois en tout. En soustrayant $P(A \cap B)$, on enlève juste ce qui a été compté en double, et chaque issue de la réunion finit comptée exactement une fois. C'est comme inviter les copains de Léa et ceux de Tom : si on additionne les deux listes, les amis communs sont écrits deux fois, alors on les retire une fois pour ne pas réserver de chaise en trop. Et quand $A$ et $B$ n'ont aucune issue commune (incompatibles), il n'y a rien à retirer : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

1. Calcule $P(A)$ et $P(B)$.
2. Calcule $P(A \cap B)$ (probabilité des issues communes).
3. Applique $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
4. Vérifie que le résultat reste entre $0$ et $1$.

Dé équilibré. $A$ = « pair » : $P(A) = \dfrac{3}{6}$. $B$ = « multiple de 3 » : $P(B) = \dfrac{2}{6}$. $A \cap B = \{6\}$ : $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$.

$P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$.

Vérification : $A \cup B = \{2;3;4;6\}$, soit $4$ issues sur $6$. ✓

Oublie pas le $-\,P(A \cap B)$ : ne l'enlève que si les événements sont incompatibles. Sinon tu comptes le commun deux fois !