🔢Ensembles de nombres et intervalles

On range les nombres dans des ensembles emboîtés :

• $\mathbb{N}$ : les entiers naturels $0, 1, 2, 3, \dots$
• $\mathbb{Z}$ : les entiers relatifs $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
• $\mathbb{D}$ : les décimaux (un nombre fini de chiffres après la virgule).
• $\mathbb{Q}$ : les rationnels (s'écrivent $\dfrac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{Z}^*$).
• $\mathbb{R}$ : les réels (tous les nombres de la droite graduée).

Ils sont emboîtés : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Pour situer un nombre dans le plus petit ensemble possible :

1. Est-il entier positif ou nul ? → $\mathbb{N}$.
2. Sinon, est-il entier (avec un signe) ? → $\mathbb{Z}$.
3. Sinon, son écriture décimale s'arrête-t-elle ? → $\mathbb{D}$.
4. Sinon, est-il un quotient d'entiers ? → $\mathbb{Q}$.
5. Sinon, c'est un irrationnel : il est seulement dans $\mathbb{R}$.

Où ranger $-\dfrac{14}{4}$ ?

On simplifie : $-\dfrac{14}{4} = -\dfrac{7}{2} = -3{,}5$. L'écriture décimale s'arrête, donc $-3{,}5 \in \mathbb{D}$ (et donc aussi dans $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$), mais $-3{,}5 \notin \mathbb{Z}$.

Un nombre est dans tous les ensembles qui le contiennent. $5$ est à la fois dans $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$. On le range dans le plus petit : $\mathbb{N}$.

Un décimal a une écriture décimale finie : $2{,}75$ ; $-0{,}004$.

Un rationnel est un quotient $\dfrac{a}{b}$ d'entiers : son écriture décimale est soit finie, soit infinie périodique (un motif se répète).

Un irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique : il n'est pas un quotient d'entiers. Exemples célèbres : $\sqrt{2}$, $\pi$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Un nombre est décimal exactement quand on peut l'écrire $\dfrac{N}{10^n}$ (un entier divisé par $10$, $100$, $1000$\dots) : c'est justement « un nombre fini de chiffres après la virgule ». Or $10^n = (2 \times 5)^n = 2^n \times 5^n$ : un dénominateur en puissance de $10$ n'est bâti qu'avec des $2$ et des $5$. Donc si la fraction, une fois rendue irréductible, ne contient que des $2$ et des $5$ au dénominateur, on peut compléter pour tomber sur une puissance de $10$ : par exemple $\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2^3} = \dfrac{3 \times 5^3}{2^3 \times 5^3} = \dfrac{375}{1000} = 0{,}375$. Et si le dénominateur irréductible garde un autre facteur premier (comme le $3$ de $\dfrac{1}{3}$), aucune puissance de $10$ — faite uniquement de $2$ et de $5$ — ne peut en être un multiple : impossible de s'arrêter, l'écriture devient infinie.

Pour savoir si une fraction est un nombre décimal :

1. Rends la fraction irréductible.
2. Décompose le dénominateur en facteurs premiers.
3. Si ce dénominateur ne contient que des $2$ et des $5$, le nombre est décimal.
4. Sinon, il est rationnel mais pas décimal.

$\dfrac{3}{8}$ est-il décimal ? Le dénominateur $8 = 2^3$ ne contient que des $2$, donc oui : $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$.

$\dfrac{1}{3}$ ? Le dénominateur est $3$ : ce n'est pas décimal. $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\dots$ (infini périodique), c'est un rationnel.

$\sqrt{2}$ est irrationnel : on ne peut jamais l'écrire exactement avec une virgule ou une fraction. La calculatrice n'en donne qu'une valeur approchée.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ? Suppose $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$ avec une fraction irréductible. Alors $a^2 = 2b^2$ : $a^2$ est pair, donc $a$ est pair, $a = 2k$. D'où $4k^2 = 2b^2$, soit $b^2 = 2k^2$ : $b$ est pair aussi. Mais $a$ et $b$ tous deux pairs, c'est impossible pour une fraction irréductible ! Donc $\sqrt{2}$ n'est pas une fraction. Cette découverte a bouleversé les mathématiciens grecs.

On note $x \in E$ pour « $x$ appartient à l'ensemble $E$ » et $x \notin E$ pour « $x$ n'appartient pas à $E$ ».

On note $A \subset B$ pour « $A$ est inclus dans $B$ » : tout élément de $A$ est aussi dans $B$.

Le symbole $\mathbb{Z}^*$ désigne $\mathbb{Z}$ privé de $0$.

1. $\in$ relie un nombre et un ensemble : $7 \in \mathbb{N}$.
2. $\subset$ relie deux ensembles : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
3. Ne mélange jamais les deux : écrire $7 \subset \mathbb{N}$ est faux.

Vrai ou faux ? $\sqrt{9} \in \mathbb{N}$.

On calcule : $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$. Comme $3$ est un entier naturel, $\sqrt{9} \in \mathbb{N}$ : c'est vrai. Attention, le symbole peut cacher un entier !

Méfie-toi des racines : $\sqrt{16} = 4 \in \mathbb{N}$, mais $\sqrt{5}$ est irrationnel et seulement dans $\mathbb{R}$.

Un intervalle est un « morceau » de la droite des réels, sans trou.

• $[a\,;\,b]$ : tous les réels $x$ tels que $a \leq x \leq b$ (bornes incluses).
• $]a\,;\,b[$ : $a < x < b$ (bornes exclues).
• $[a\,;\,+\infty[$ : $x \geq a$.
• $]-\infty\,;\,b]$ : $x \leq b$.

Un crochet ouvert $]$ exclut la borne ; un crochet fermé $[$ l'inclut. À côté de $+\infty$ et $-\infty$, le crochet est toujours ouvert.

Pour traduire une condition en intervalle :

1. Repère les inégalités larges ($\leq$, $\geq$) → crochet fermé.
2. Repère les inégalités strictes ($<$, $>$) → crochet ouvert.
3. Place la plus petite borne à gauche, la plus grande à droite.

Traduire $-2 \leq x < 5$ en intervalle.

$-2$ est inclus ($\leq$) → crochet fermé à gauche. $5$ est exclu ($<$) → crochet ouvert à droite. On obtient $x \in [-2\,;\,5[$.

L'infini n'est pas un nombre : on ne l'atteint jamais. On écrit donc toujours $[3\,;\,+\infty[$ et jamais $[3\,;\,+\infty]$.

Comparer deux réels, c'est dire lequel est le plus grand. On manipule les inégalités avec des règles précises :

• On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres (le sens ne change pas).
• On peut multiplier/diviser par un nombre positif (le sens ne change pas).
• Multiplier/diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dire $a < b$, c'est dire que $b - a$ est positif. Multiplions cet écart par un nombre négatif $k$ : un positif fois un négatif donne un négatif, donc $k(b - a) < 0$, c'est-à-dire $kb - ka < 0$, soit $kb < ka$. L'écart a changé de signe, donc l'ordre s'est retourné : $ka > kb$. Image concrète : sur la droite graduée, multiplier par un négatif revient à faire un demi-tour autour de $0$ ; ce qui était à droite passe à gauche, le plus grand devient le plus petit.

Pour ne pas se tromper de sens :

1. Isole l'inconnue comme dans une équation.
2. À chaque multiplication ou division, regarde le signe du nombre utilisé.
3. Si ce nombre est négatif, retourne le symbole d'inégalité.

Résoudre $-2x \leq 6$.

On divise les deux membres par $-2$ (négatif), donc on inverse le sens : $x \geq \dfrac{6}{-2}$, soit $x \geq -3$. Solution : $x \in [-3\,;\,+\infty[$.

Le piège classique : oublier d'inverser le sens en divisant par un négatif. Vérifie avec une valeur : pour $-2x \leq 6$, $x = 0$ donne $0 \leq 6$ vrai, $x = -3$ donne $6 \leq 6$ vrai : la solution $x \geq -3$ est cohérente.

La valeur absolue d'un réel $x$, notée $|x|$, est sa valeur sans le signe : $|5| = 5$ et $|-5| = 5$.

Géométriquement, $|x|$ est la distance de $x$ à $0$ sur la droite graduée. Plus généralement, $|a - b|$ est la distance entre $a$ et $b$.

Pour calculer une valeur absolue :

1. Si le nombre est positif ou nul, $|x| = x$.
2. Si le nombre est négatif, $|x| = -x$ (on enlève le signe).
3. Pour une distance, calcule $a - b$ puis prends la valeur absolue.

Quelle est la distance entre $-3$ et $4$ ?

Distance $= |{-3} - 4| = |{-7}| = 7$. On vérifie : $|4 - (-3)| = |7| = 7$. La distance ne dépend pas de l'ordre.

Une valeur absolue n'est jamais négative : $|x| \geq 0$ toujours. Si tu trouves un résultat négatif pour une valeur absolue, c'est une erreur.