⚡Puissances et racines carrées

Pour un réel $a$ et un entier $n \geq 1$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$.

Conventions : $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).

Pour les exposants négatifs : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (avec $a \neq 0$). Ainsi $10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Les conventions $a^0 = 1$ et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ne sortent pas du chapeau : elles prolongent une suite parfaitement régulière. Regarde la descente : $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$… à chaque fois qu'on baisse l'exposant de $1$, on divise par $2$. En continuant : $2^1 = 2$, puis $2^0 = \dfrac{2}{2} = 1$, puis $2^{-1} = \dfrac{1}{2}$, puis $2^{-2} = \dfrac{1}{4}$. C'est le seul choix qui garde le motif régulier (et qui fait fonctionner la règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$).

Pour calculer une puissance :

1. Repère la base et l'exposant.
2. Si l'exposant est négatif, passe à l'inverse : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
3. Attention au signe de la base : $(-2)^2 = 4$ mais $-2^2 = -4$.

Calculer $(-3)^3$ et $-3^4$.

$(-3)^3 = (-3)\times(-3)\times(-3) = -27$ (exposant impair → résultat négatif). $-3^4 = -(3^4) = -(81) = -81$ : ici le signe « moins » n'est pas dans la puissance.

Une base négative élevée à un exposant pair donne un résultat positif ; à un exposant impair, un résultat négatif. Et $(-a)^n \neq -a^n$ : surveille les parenthèses !

Pour une même base $a \neq 0$ et des entiers $m, n$ :

$a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{m \times n}$

Pour des bases différentes mais le même exposant :

$(a \times b)^n = a^n \times b^n \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? La règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$ se voit en comptant les facteurs. $a^m$, c'est $a$ multiplié $m$ fois ; $a^n$, c'est $a$ multiplié $n$ fois. Mettre les deux bout à bout, c'est écrire $a$ d'abord $m$ fois, puis encore $n$ fois : en tout $m + n$ facteurs $a$. Par exemple $2^3 \times 2^2 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2) = 2^5$. On voit du même coup pourquoi on additionne (et non multiplie) les exposants : on ne fait qu'aligner des paquets de $a$.

Pour simplifier une expression :

1. Regroupe les puissances de même base.
2. Applique $a^m \times a^n = a^{m+n}$ pour les produits, $a^{m-n}$ pour les quotients.
3. Pour une puissance de puissance, multiplie les exposants.

Simplifier $\dfrac{2^5 \times 2^3}{2^4}$.

Au numérateur : $2^5 \times 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$. Puis $\dfrac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 = 16$.

On additionne les exposants pour un produit, on ne les multiplie pas ! $2^3 \times 2^2 = 2^5 = 32$, et non $2^6$.

La notation scientifique d'un nombre est l'écriture $a \times 10^n$ où $a$ a un seul chiffre non nul avant la virgule (donc $1 \leq |a| < 10$) et $n$ est un entier relatif.

Elle sert à manipuler des nombres très grands ou très petits.

Pour écrire un nombre en notation scientifique :

1. Déplace la virgule pour ne laisser qu'un chiffre non nul devant.
2. Compte de combien de rangs tu as déplacé la virgule.
3. Vers la gauche : exposant positif ; vers la droite : exposant négatif.

Écrire $0{,}00042$ en notation scientifique.

On déplace la virgule de $4$ rangs vers la droite pour obtenir $4{,}2$. Vers la droite → exposant négatif : $0{,}00042 = 4{,}2 \times 10^{-4}$.

Vérifie toujours : $1 \leq |a| < 10$. $42 \times 10^3$ n'est pas une notation scientifique ($42 \geq 10$) ; il faut écrire $4{,}2 \times 10^4$.

La racine carrée d'un réel $a \geq 0$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$ : $(\sqrt{a})^2 = a$.

On a aussi $\sqrt{a^2} = |a|$ pour tout réel $a$, et $\sqrt{a^2} = a$ lorsque $a \geq 0$.

⚠️ La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}$.

Pour reconnaître une racine « exacte » :

1. Apprends les carrés parfaits : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 \dots$
2. Si $a$ est un carré parfait, $\sqrt{a}$ est entier.
3. Sinon, $\sqrt{a}$ est irrationnel : on le garde sous le radical.

Calculer $\sqrt{144}$ et $\sqrt{(-5)^2}$.

$\sqrt{144} = 12$ car $12^2 = 144$. $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$ : on retrouve bien la valeur absolue.

$\sqrt{a}$ est toujours positive : $\sqrt{25} = 5$ (et non $\pm 5$). Les deux solutions $\pm 5$ apparaissent quand on résout $x^2 = 25$, c'est différent.

Pour des réels $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ (b > 0)$

⚠️ En revanche, $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pour vérifier que $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, il suffit d'élever au carré. À gauche : $(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 = a \times b$. Or $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est positif (produit de deux nombres positifs) et son carré vaut $ab$ : c'est donc, par définition, $\sqrt{ab}$. Ce petit test « au carré » explique aussi pourquoi la racine ne se distribue pas sur une somme : $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{a}\sqrt{b}$, et ce terme du milieu en trop empêche d'obtenir $a + b$.

Pour simplifier $\sqrt{n}$ :

1. Cherche le plus grand carré parfait qui divise $n$.
2. Écris $n$ comme un produit : $n = (\text{carré}) \times (\text{reste})$.
3. Sors le carré du radical : $\sqrt{k^2 \times r} = k\sqrt{r}$.

Simplifier $\sqrt{72}$.

Le plus grand carré qui divise $72$ est $36$ : $72 = 36 \times 2$. Donc $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Le piège : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. La racine ne se distribue pas sur une somme !

On évite de laisser une racine au dénominateur. On multiplie alors le numérateur et le dénominateur par cette racine pour la faire « remonter » :

$\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{1 \times \sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$

1. Repère la racine au dénominateur.
2. Multiplie en haut et en bas par cette racine.
3. Au dénominateur, $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ : la racine disparaît.
4. Simplifie si possible.

Écrire $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ sans racine au dénominateur.

$\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

Une fois le calcul fait, vérifie l'ordre de grandeur : $\dfrac{6}{\sqrt{3}} \approx \dfrac{6}{1{,}73} \approx 3{,}46$ et $2\sqrt{3} \approx 2 \times 1{,}73 = 3{,}46$. C'est cohérent.