🔢Arithmétique

On dit que $b$ est un diviseur de $a$ (ou que $a$ est un multiple de $b$) lorsque la division de $a$ par $b$ tombe juste : le reste est $0$.

Cela revient à écrire $a = b \times k$ avec $k$ un nombre entier.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Le truc de la somme des chiffres vient d'une coïncidence magique : $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1\,000 = 999 + 1$… Prenons $171 = 1 \times 100 + 7 \times 10 + 1$. On le réécrit $171 = 1 \times (99 + 1) + 7 \times (9 + 1) + 1 = (99 + 7 \times 9) + (1 + 7 + 1)$. Le premier paquet, $99 + 7 \times 9 = 162$, est un multiple de $9$ (il n'est fait que de $99$ et de $9$). Donc $171$ est divisible par $9$ exactement quand la somme $1 + 7 + 1 = 9$ l'est. Et comme $9 = 3 \times 3$, le même raisonnement marche pour $3$ !

Pour tester rapidement une divisibilité sans poser la division :

1. Par 2 : le nombre se termine par $0, 2, 4, 6$ ou $8$ (il est pair).
2. Par 5 : le nombre se termine par $0$ ou $5$.
3. Par 10 : le nombre se termine par $0$.
4. Par 3 : la somme des chiffres est un multiple de $3$.
5. Par 9 : la somme des chiffres est un multiple de $9$.

Le nombre $171$ est-il divisible par $9$ ?

Somme des chiffres : $1 + 7 + 1 = 9$. Comme $9$ est multiple de $9$, $171$ est divisible par $9$ : $171 = 9 \times 19$.

Si un nombre est divisible par $9$, il est forcément divisible par $3$ (car $9 = 3 \times 3$). L'inverse est faux : $12$ est divisible par $3$ mais pas par $9$.

Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Les premiers d'entre eux : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 \dots$

⚠️ $1$ n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur). $2$ est le seul nombre premier pair.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi s'arrêter à $\sqrt{n}$ ? Imagine que $n$ se découpe en $n = a \times b$. Si $a$ ET $b$ étaient tous les deux plus grands que $\sqrt{n}$, alors leur produit dépasserait $\sqrt{n} \times \sqrt{n} = n$ : impossible, le produit doit faire exactement $n$. Donc dans toute décomposition, l'un des deux facteurs est forcément $\le \sqrt{n}$. Conclusion : si aucun nombre (à partir de $2$) jusqu'à $\sqrt{n}$ ne divise $n$, c'est qu'aucun diviseur (à part $1$ et $n$) n'existe — $n$ est premier.

Pour vérifier si un nombre $n$ est premier :

1. Teste s'il est divisible par $2$, puis $3$, puis $5$, puis $7 \dots$
2. Inutile d'aller plus loin que $\sqrt{n}$ : si aucun premier $\le \sqrt{n}$ ne le divise, alors $n$ est premier.
3. Si tu trouves un seul diviseur autre que $1$ et $n$, il n'est pas premier.

$97$ est-il premier ? $\sqrt{97} \approx 9{,}8$.

On teste $2$ (non, impair), $3$ ($9+7=16$ non), $5$ (ne finit pas par 0 ou 5), $7$ ($97 = 7\times 13 + 6$ non). Aucun ne marche : $97$ est premier.

Pour $51$ on est souvent piégé : $51 = 3 \times 17$, donc $51$ n'est pas premier !

Décomposer un nombre, c'est l'écrire comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique (à l'ordre près).

1. Divise le nombre par le plus petit premier possible ($2$, puis $3$, $5 \dots$).
2. Recommence avec le quotient obtenu.
3. Continue jusqu'à arriver à $1$.
4. Regroupe les facteurs identiques sous forme de puissances.

Décomposition de $360$ :

$360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 = 2^3 \times 9 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5$

Vérifie toujours en remultipliant : $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$. ✅

Le PGCD de deux nombres est leur Plus Grand Commun Diviseur : le plus grand entier qui les divise tous les deux.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? L'idée secrète : un nombre qui divise à la fois $a$ et $b$ divise aussi leur différence $a - b$. Par exemple, $12$ divise $60$ ($= 12 \times 5$) et $36$ ($= 12 \times 3$), donc il divise $60 - 36 = 24$ ($= 12 \times 2$). Les diviseurs communs de $(60 ; 36)$ sont donc exactement les mêmes que ceux de $(36 ; 24)$ : remplacer le grand nombre par le reste ne change pas le PGCD, mais rapetisse les nombres à chaque étape. Quand on tombe sur un reste de $0$, le dernier nombre divise l'autre : c'est le plus grand diviseur commun.

Algorithme d'Euclide (divisions) :

1. Divise le plus grand par le plus petit, note le reste.
2. Recommence : (ancien diviseur) ÷ (reste).
3. Le dernier reste non nul est le PGCD.

Méthode des soustractions : on remplace le plus grand par (grand − petit), et on répète jusqu'à obtenir deux nombres égaux : ce nombre est le PGCD.

PGCD de $60$ et $36$ par Euclide :

$60 = 36 \times 1 + 24$

$36 = 24 \times 1 + 12$

$24 = 12 \times 2 + 0$

Dernier reste non nul : $\text{PGCD}(60 ; 36) = 12$.

Si le PGCD vaut $1$, les deux nombres sont premiers entre eux.

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier : son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun sauf $1$ (ils sont premiers entre eux).

1. Calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur.
2. Divise les deux par ce PGCD.
3. La fraction obtenue est irréductible (une seule étape suffit).

$\dfrac{36}{60}$ : on a $\text{PGCD}(36 ; 60) = 12$.

$\dfrac{36}{60} = \dfrac{36 \div 12}{60 \div 12} = \dfrac{3}{5}$ (irréductible).

Si tu n'as pas le PGCD, tu peux simplifier par étapes (÷2, ÷2, ÷3…) jusqu'au bout, le résultat est le même.