➗Calculs avec les fractions

Quand deux fractions ont le même dénominateur, on garde ce dénominateur et on additionne (ou soustrait) les numérateurs :

$\dfrac{a}{d} + \dfrac{b}{d} = \dfrac{a+b}{d} \qquad \dfrac{a}{d} - \dfrac{b}{d} = \dfrac{a-b}{d}$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Le dénominateur n'est pas un nombre comme un autre : il nomme la taille des parts. Dire $\dfrac{3}{7}$, c'est dire « $3$ septièmes », exactement comme on dirait « $3$ pommes ». Du coup $3$ septièmes $+\ 2$ septièmes $=5$ septièmes, tout comme $3$ pommes $+\ 2$ pommes $=5$ pommes : on compte les parts (les numérateurs), et la taille d'une part (le $7$) ne bouge pas. C'est pour ça qu'on n'additionne jamais les dénominateurs — sinon la part « septième » deviendrait magiquement une part « quatorzième », deux fois plus petite.

1. Vérifie que les dénominateurs sont identiques.
2. Additionne (ou soustrais) seulement les numérateurs.
3. Garde le dénominateur commun.
4. Simplifie le résultat si possible.

$\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{3+2}{7} = \dfrac{5}{7}$

⚠️ On n'additionne JAMAIS les dénominateurs ! $\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{7} \neq \dfrac{5}{14}$.

Si les dénominateurs sont différents, il faut d'abord les réduire au même dénominateur : on multiplie numérateur et dénominateur par un même nombre pour obtenir un dénominateur commun.

1. Trouve un dénominateur commun (souvent le plus petit multiple commun).
2. Transforme chaque fraction pour qu'elle ait ce dénominateur.
3. Additionne (ou soustrais) les numérateurs.
4. Simplifie.

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ : dénominateur commun $6$.

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$ et $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$, donc $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.

Quand un dénominateur est multiple de l'autre (ex : 3 et 6), le commun est le plus grand.

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$

Pas besoin de dénominateur commun ici !

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Multiplier, c'est prendre « une fraction de l'autre ». Dessine un carré, découpe-le en $b$ colonnes et en $d$ lignes : tu obtiens $b\times d$ petites cases identiques. Pour montrer $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}$, colorie $a$ colonnes sur $b$, puis $c$ lignes sur $d$ : la zone coloriée deux fois forme un rectangle de $a\times c$ cases. Il y a $a\times c$ cases choisies sur les $b\times d$ du carré, soit $\dfrac{a\times c}{b\times d}$. Le dessin fabrique tout seul le produit des numérateurs et celui des dénominateurs.

1. Multiplie les numérateurs.
2. Multiplie les dénominateurs.
3. Astuce : simplifie avant de multiplier si tu repères un facteur commun, c'est plus simple.

$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 7} = \dfrac{10}{21}$

Une fraction multipliée par un entier : $\dfrac{a}{b}\times k = \dfrac{a\times k}{b}$.

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. L'inverse de $\dfrac{c}{d}$ est $\dfrac{d}{c}$ (on retourne la fraction).

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Diviser $\dfrac{a}{b}$ par $\dfrac{c}{d}$, c'est chercher le nombre qui, multiplié par $\dfrac{c}{d}$, redonne $\dfrac{a}{b}$. Testons le candidat $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$ : en le multipliant par $\dfrac{c}{d}$, on obtient $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d\times c}{c\times d}=\dfrac{a}{b}\times 1=\dfrac{a}{b}$. Ça retombe pile sur $\dfrac{a}{b}$ : retourner la deuxième fraction est donc bien la bonne réponse. L'inverse $\dfrac{d}{c}$ sert juste à annuler le $\dfrac{c}{d}$, comme une clé qui défait exactement ce qu'une autre avait fermé.

1. Garde la première fraction.
2. Remplace le $\div$ par un $\times$.
3. Retourne la deuxième fraction (numérateur ↔ dénominateur).
4. Calcule la multiplication.

$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$

On ne retourne que la fraction qui est après le signe ÷, jamais celle d'avant !

Avec des fractions on respecte les mêmes priorités : d'abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions.

La règle des signes s'applique : $\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}$, et le produit de deux fractions de signes contraires est négatif.

1. Repère les parenthèses.
2. Effectue × et ÷ avant + et −.
3. Applique la règle des signes (− × − = + ; − × + = −).
4. Simplifie le résultat final.

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4}$ : d'abord la multiplication.

$\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$, puis $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.

$\left(-\dfrac{2}{5}\right) \times \left(-\dfrac{3}{7}\right) = +\dfrac{6}{35}$ : moins par moins donne plus.