⚡Puissances

Pour un nombre $a$ et un entier $n$ positif (au moins égal à $1$), la puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

On lit « $a$ exposant $n$ ». Le nombre $a$ est la base, $n$ est l'exposant.

Cas particuliers : $a^1 = a$ et, si $a \neq 0$, $a^0 = 1$.

Pour calculer $a^n$ :

1. Repère la base $a$ et l'exposant $n$.
2. Écris le produit de $n$ facteurs égaux à $a$.
3. Effectue le produit pas à pas.

Calcule $2^5$.

$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$. On regroupe : $2\times2 = 4$, $4\times2 = 8$, $8\times2 = 16$, $16\times2 = 32$.

Donc $2^5 = 32$.

Attention : $2^5$ n'est pas $2 \times 5 = 10$ ! L'exposant indique combien de fois on multiplie la base par elle-même, pas par quoi on multiplie.

Pour $a \neq 0$ et $n$ entier positif, on définit l'exposant négatif par :

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$

Une puissance d'exposant négatif est donc l'inverse de la puissance d'exposant positif correspondant.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Descends la suite des puissances de $2$ marche par marche : $2^{3}=8$, $2^{2}=4$, $2^{1}=2$. À chaque marche vers le bas, l'exposant baisse de $1$ et le résultat est divisé par $2$. Si on continue : $2^{0}=2\div 2=1$, puis $2^{-1}=1\div 2=\dfrac{1}{2}$, puis $2^{-2}=\dfrac{1}{2}\div 2=\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^{2}}$. Les exposants négatifs ne tombent pas du ciel : ils prolongent simplement cette suite régulière, et c'est pour ça que $2^{-n}=\dfrac{1}{2^{n}}$. Au passage, ça explique aussi pourquoi $a^{0}=1$ : c'est juste la marche du milieu.

Pour calculer $a^{-n}$ :

1. Calcule d'abord $a^{n}$ (avec l'exposant positif).
2. Prends l'inverse : $\dfrac{1}{a^{n}}$.

Calcule $2^{-3}$.

On a $2^{3} = 8$, donc $2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$.

Un exposant négatif ne rend jamais le résultat négatif ! $2^{-3}$ vaut $\dfrac{1}{8}$, un nombre positif. Le « moins » concerne l'exposant, pas le signe du résultat.

Pour une même base $a$ (non nulle) et des exposants entiers $m$ et $n$ :

• Produit : $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ (on additionne les exposants).
• Quotient : $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ (on soustrait les exposants).
• Puissance d'une puissance : $\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m\times n}$ (on multiplie les exposants).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Il suffit de compter les facteurs ! Écris tout en entier : $a^{2}\times a^{3} = (a\times a)\times(a\times a\times a)$. En effaçant les parenthèses, on a une seule grande multiplication de $a$ par lui-même, et il y a $2+3 = 5$ facteurs. C'est exactement $a^{5}$. On comprend du coup pourquoi on additionne les exposants : on met bout à bout les paquets de $a$, donc on ajoute leurs longueurs. Pour le quotient, c'est pareil mais à l'envers : chaque $a$ du dénominateur en barre un du numérateur, et il en reste $m-n$.

1. Vérifie que la base est la même (sinon ces règles ne s'appliquent pas).
2. Choisis la règle selon l'opération (produit, quotient, puissance de puissance).
3. Combine les exposants (addition, soustraction ou multiplication).

Simplifie $\dfrac{5^{7} \times 5^{2}}{5^{4}}$.

Au numérateur : $5^{7} \times 5^{2} = 5^{7+2} = 5^{9}$.

Puis $\dfrac{5^{9}}{5^{4}} = 5^{9-4} = 5^{5}$.

On additionne les exposants pour un produit, on ne les multiplie pas. $5^{2}\times 5^{3} = 5^{5}$ et non $5^{6}$ !

Les puissances de $10$ sont très pratiques :

• $10^{n}$ ($n>0$) est le $1$ suivi de $n$ zéros : $10^{3} = 1\,000$.
• $10^{-n}$ est $\dfrac{1}{10^{n}}$ : $10^{-3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001$.
• $10^{0} = 1$.

Les règles de calcul s'appliquent : $10^{m}\times 10^{n} = 10^{m+n}$.

Pour écrire $10^{n}$ en notation décimale :

1. Si $n>0$ : écris $1$ puis ajoute $n$ zéros.
2. Si $n<0$ : place une virgule, puis $|n|$ chiffres après elle, le dernier étant $1$ (par ex. $10^{-2} = 0{,}01$).

Calcule $10^{4} \times 10^{-6}$.

$10^{4} \times 10^{-6} = 10^{4 + (-6)} = 10^{-2} = 0{,}01$.

Pour $10^{-3}$, compte bien : il y a $3$ chiffres après la virgule ($0{,}001$), pas $2$ ! L'exposant donne le nombre de décimales.

L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme :

$a \times 10^{n}$

où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le a < 10$ (un seul chiffre non nul avant la virgule) et $n$ est un entier relatif.

Elle permet d'écrire commodément de très grands ou de très petits nombres.

1. Place la virgule juste après le premier chiffre non nul : tu obtiens $a$.
2. Compte de combien de rangs la virgule a été déplacée : c'est $|n|$.
3. Si le nombre de départ est grand ($\ge 10$), $n$ est positif ; s'il est petit ($<1$), $n$ est négatif.

Écris $38\,500$ en écriture scientifique.

Le premier chiffre non nul est $3$ : $a = 3{,}85$. On a déplacé la virgule de $4$ rangs vers la gauche, et le nombre est grand.

Donc $38\,500 = 3{,}85 \times 10^{4}$.

Vérifie toujours que $a$ a un seul chiffre avant la virgule. $38{,}5 \times 10^{3}$ est juste numériquement mais n'est pas une écriture scientifique : il faut $3{,}85 \times 10^{4}$.

L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de $10$ (ou la valeur ronde) la plus proche, qui permet d'estimer rapidement.

On arrondit l'écriture scientifique $a\times 10^{n}$ : si $a$ est proche de $1$ on garde $10^{n}$, s'il est proche de $10$ on prend $10^{n+1}$.

1. Écris le nombre en écriture scientifique $a\times 10^{n}$.
2. Arrondis $a$ à l'entier le plus proche.
3. L'ordre de grandeur est cet entier multiplié par $10^{n}$.

Ordre de grandeur de $4\,820$.

$4\,820 = 4{,}82 \times 10^{3}$. On arrondit $4{,}82 \approx 5$.

Ordre de grandeur : $5 \times 10^{3} = 5\,000$.

L'ordre de grandeur sert à vérifier un résultat. Si ta calculatrice affiche $48\,200$ alors que tu attendais environ $5\,000$, tu as sûrement fait une erreur de virgule !