🧮Calcul littéral

Une expression littérale contient des lettres (variables) et des nombres.

On allège l'écriture :

• $a \times b$ s'écrit $ab$ ; $3 \times x$ s'écrit $3x$.
• $x \times x$ s'écrit $x^2$.
• $1 \times x$ s'écrit simplement $x$.

Un terme est un morceau séparé par $+$ ou $-$. Dans $3x + 5 - 2x$, les termes sont $3x$, $5$ et $-2x$. Le coefficient de $3x$ est $3$.

Pour repérer les termes semblables :

1. Découpe l'expression aux signes $+$ et $-$.
2. Les termes semblables ont la même partie littérale (par ex. $3x$ et $-2x$, ou $5$ et $7$).

Dans $4x + 7 - x + 2$ : les termes en $x$ sont $4x$ et $-x$ ; les termes constants sont $7$ et $2$.

$-x$ veut dire $-1x$ : son coefficient est $-1$, pas $0$. On l'oublie souvent quand on réduit !

Réduire, c'est regrouper les termes semblables pour écrire l'expression le plus simplement possible.

On additionne (ou soustrait) les coefficients des termes qui ont la même partie littérale.

1. Repère les termes semblables (même lettre, même exposant ; et les constantes ensemble).
2. Additionne leurs coefficients.
3. Réécris l'expression réduite.

Réduis $5x + 3 + 2x - 1$.

Termes en $x$ : $5x + 2x = 7x$. Termes constants : $3 - 1 = 2$.

Expression réduite : $7x + 2$.

On ne peut pas additionner $7x$ et $2$ : ils ne sont pas semblables. $7x + 2$ est déjà réduit, on s'arrête là.

La simple distributivité sert à supprimer une parenthèse multipliée par un facteur :

$k(a+b) = k\times a + k\times b = ka + kb$

Le facteur $k$ est distribué à chaque terme de la parenthèse. Cela marche aussi avec une soustraction : $k(a-b) = ka - kb$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dessine un rectangle de hauteur $k$ et de longueur $a+b$. Son aire est $k \times (a+b)$. Mais coupe-le par un trait vertical : tu obtiens deux rectangles, l'un de longueur $a$, l'autre de longueur $b$. Leurs aires sont $ka$ et $kb$. Comme c'est le même rectangle, $k(a+b) = ka + kb$. La distributivité, c'est juste découper une surface en deux morceaux !

1. Multiplie le facteur de devant par le premier terme de la parenthèse.
2. Multiplie-le par le deuxième terme (attention au signe).
3. Réduis si possible.

Développe $3(2x + 5)$.

$3 \times 2x = 6x$ et $3 \times 5 = 15$.

Donc $3(2x+5) = 6x + 15$.

Avec un signe $-$ devant : $-2(x - 4) = -2x + 8$. Le $-2$ multiplie aussi le $-4$, ce qui donne $+8$. Surveille bien les signes !

⭐ Anticipation 3e (officiellement au programme de 3e ; en 4e on attend surtout la distributivité simple $k(a+b)$). La double distributivité développe un produit de deux sommes :

$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : il y a donc quatre produits.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Trace un grand rectangle de longueur $a+b$ et de hauteur $c+d$. Avec un trait vertical et un trait horizontal, tu le découpes en $4$ petites cases : leurs aires sont $ac$, $ad$, $bc$ et $bd$. L'aire totale du grand rectangle, c'est la somme de ces $4$ cases. Voilà pourquoi $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ : les quatre produits sont les quatre morceaux du rectangle, et il est impossible d'en oublier un !

1. $a \times c$, puis $a \times d$.
2. $b \times c$, puis $b \times d$.
3. Additionne les quatre produits, puis réduis les termes semblables.

Développe $(x+3)(x+2)$.

$x\times x = x^2$ ; $x\times 2 = 2x$ ; $3\times x = 3x$ ; $3\times 2 = 6$.

On obtient $x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$.

Moyen mnémotechnique : chacun serre la main de chacun — chaque terme de la 1ʳᵉ parenthèse multiplie chaque terme de la 2ᵈᵉ, soit $2 \times 2 = 4$ produits. N'en oublie aucun, et réduis bien $2x + 3x = 5x$ à la fin.

Factoriser, c'est l'opération inverse de développer : on transforme une somme en produit en mettant en évidence un facteur commun.

$ka + kb = k(a+b)$

Le facteur $k$ apparaît dans chaque terme : on le sort de la parenthèse.

1. Repère le facteur commun présent dans tous les termes.
2. Écris ce facteur, ouvre une parenthèse.
3. À l'intérieur, écris ce qu'il reste de chaque terme une fois le facteur retiré.

Factorise $6x + 9$.

Facteur commun : $3$ (car $6 = 3\times2$ et $9 = 3\times3$).

$6x + 9 = 3\times 2x + 3\times 3 = 3(2x + 3)$.

Vérifie en redéveloppant : $3(2x+3) = 6x + 9$. Si tu retrouves le départ, ta factorisation est juste !

Substituer, c'est remplacer une lettre par une valeur numérique, puis effectuer le calcul.

On parle de calculer la valeur d'une expression pour une valeur donnée de la lettre.

1. Réécris l'expression en remplaçant la lettre par sa valeur, entre parenthèses.
2. Respecte les priorités opératoires (puissances, puis $\times$ et $\div$, puis $+$ et $-$).
3. Effectue le calcul jusqu'au résultat.

Calcule $2x + 3$ pour $x = 4$.

$2\times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$.

Mets toujours la valeur entre parenthèses, surtout si elle est négative : pour $x=-2$, $x^2 = (-2)^2 = 4$ et non $-4$.