📐Angles dans les figures

Un angle se mesure en degrés (symbole $°$) à l'aide d'un rapporteur. Un tour complet fait $360°$, un demi-tour $180°$, un quart de tour (angle droit) $90°$.

• Angle aigu : entre $0°$ et $90°$.
• Angle droit : exactement $90°$.
• Angle obtus : entre $90°$ et $180°$.
• Angle plat : exactement $180°$.

1. Place le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle.
2. Aligne le $0$ (la ligne de base) sur un côté de l'angle.
3. Lis la graduation sur l'autre côté (la bonne des deux : aigu < 90°, obtus > 90°).

Pour construire un angle de $50°$ : on trace un côté, on place le sommet au centre du rapporteur, on repère la graduation $50°$, puis on trace le second côté.

Le rapporteur a deux graduations (qui montent dans deux sens). Vérifie : si l'angle est aigu (« petit »), la mesure doit être inférieure à $90°$.

Deux angles sont complémentaires lorsque leur somme vaut $90°$.

$\widehat{a} + \widehat{b} = 90°$

Pour trouver le complémentaire d'un angle, on calcule donc $90° - \text{(l'angle)}$.

1. Vérifie que les deux angles doivent totaliser $90°$.
2. Pour trouver l'angle manquant : calcule $90° - \text{angle connu}$.
3. Vérifie : la somme des deux doit bien faire $90°$.

Le complémentaire d'un angle de $35°$ :

$90° - 35° = 55°$. (On vérifie : $35° + 55° = 90°$.)

Complémentaires → Complètent un angle droit → $90°$. Pense « C comme Coin (angle droit) ».

Deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme vaut $180°$.

$\widehat{a} + \widehat{b} = 180°$

Pour trouver le supplémentaire d'un angle, on calcule $180° - \text{(l'angle)}$.

1. Vérifie que les deux angles doivent totaliser $180°$.
2. Pour trouver l'angle manquant : calcule $180° - \text{angle connu}$.
3. Vérifie : la somme des deux doit bien faire $180°$.

Le supplémentaire d'un angle de $110°$ :

$180° - 110° = 70°$. (On vérifie : $110° + 70° = 180°$.)

Supplémentaires → Sur une ligne droite (angle plat) → $180°$. Pense « S comme un Segment de droite ».

Quand deux droites se croisent, elles forment quatre angles. Les angles opposés par le sommet sont ceux qui se font face de part et d'autre du point de croisement.

Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux.

Les deux angles côte à côte (qui se touchent par un côté), eux, sont supplémentaires (somme $= 180°$).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Regarde un des angles, appelons-le $\widehat{a}$, et son voisin $\widehat{b}$ (celui juste à côté). Comme ils sont posés sur une même droite, ils sont supplémentaires : $\widehat{a} + \widehat{b} = 180°$. Mais l'angle opposé à $\widehat{a}$, appelons-le $\widehat{c}$, forme lui aussi une droite avec ce même voisin $\widehat{b}$, donc $\widehat{c} + \widehat{b} = 180°$. Les deux ont la même somme avec $\widehat{b}$, donc forcément $\widehat{a} = \widehat{c}$ : voilà pourquoi les angles opposés sont toujours égaux !

1. Repère le point de croisement des deux droites.
2. Identifie les angles qui se font face : ils sont égaux.
3. Les angles voisins (côte à côte) sont supplémentaires ($180°$).

Deux droites se croisent. L'un des angles mesure $70°$.

L'angle opposé par le sommet mesure aussi $70°$. Chaque angle voisin mesure $180° - 70° = 110°$.

Opposés par le sommet = égaux. Voisins (qui partagent un côté) = supplémentaires ($180°$). Ne les confonds pas !

Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut toujours $180°$ :

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$

Si on connaît deux angles, on trouve le troisième en faisant $180° - (\text{somme des deux connus})$.

Cas particuliers : dans un triangle équilatéral, chaque angle vaut $180° \div 3 = 60°$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Fais l'expérience : dessine un triangle sur du papier, puis déchire (à la main, sans ciseaux) ses trois coins. Place ensuite les trois pointes côte à côte en les faisant se toucher par un même point. Surprise : elles se rangent toujours pile le long d'une ligne droite, sans trou ni chevauchement ! Or une ligne droite, c'est un angle plat de $180°$ : c'est exactement pour ça que les trois angles d'un triangle font toujours $180°$, quel que soit le triangle.

1. Additionne les deux angles que tu connais.
2. Soustrais cette somme de $180°$.
3. Le résultat est le troisième angle.

Un triangle a deux angles de $50°$ et $60°$.

Troisième angle $= 180° - (50° + 60°) = 180° - 110° = 70°$.

Quel que soit le triangle (grand, petit, allongé), la somme fait toujours $180°$. Si ta somme dépasse $180°$, il y a une erreur !

Dans tout quadrilatère (figure à 4 côtés), la somme des quatre angles vaut toujours $360°$ :

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°$

C'est logique : un quadrilatère se découpe en deux triangles, et $2 \times 180° = 360°$.

Cas particuliers : dans un rectangle ou un carré, chacun des quatre angles vaut $90°$ (et $4 \times 90° = 360°$).

1. Additionne les trois angles que tu connais.
2. Soustrais cette somme de $360°$.
3. Le résultat est le quatrième angle.

Un quadrilatère a trois angles de $90°$, $80°$ et $100°$.

Quatrième angle $= 360° - (90° + 80° + 100°) = 360° - 270° = 90°$.

Triangle → $180°$, quadrilatère → $360°$ (le double). Chaque côté en plus ajoute un triangle, donc $180°$ de plus.