📦Volumes

Le volume d'un solide mesure la place qu'il occupe dans l'espace (ou la quantité qu'il peut contenir).

Un volume s'exprime toujours en unités cubes : $cm^3$, $dm^3$, $m^3$… (le petit 3 rappelle les trois dimensions : longueur, largeur, hauteur).

Ne confonds pas : une aire est en $cm^2$ (surface, 2 dimensions), un volume est en $cm^3$ (solide, 3 dimensions).

1. Vérifie qu'on parle bien d'un solide (objet en 3D), pas d'une surface.
2. Choisis la formule adaptée au solide.
3. Écris le résultat avec une unité au cube ($cm^3$…).

Une brique, une boîte, un cube de glace ont un volume. Une feuille de papier, elle, a surtout une aire.

Le petit chiffre de l'unité donne le nombre de dimensions : cm (1), $cm^2$ (2, une aire), $cm^3$ (3, un volume).

Le pavé droit (une boîte) a pour volume :

$V = L \times \ell \times h$

où $L$ = longueur, $\ell$ = largeur, $h$ = hauteur.

Le cube est un pavé dont les trois dimensions sont égales (côté $a$) :

$V = a \times a \times a = a^3$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que tu remplis le pavé avec de petits cubes de 1 cm de côté, sans laisser de trou. Sur le sol de la boîte, tu poses une couche : $L$ cubes en longueur et $\ell$ cubes en largeur, ce qui fait $L \times \ell$ cubes pour une seule couche. Pour atteindre la hauteur $h$, tu empiles $h$ couches identiques, donc en tout $L \times \ell \times h$ petits cubes de $1\ cm^3$ chacun. C'est exactement pour ça que le volume vaut $V = L \times \ell \times h$ : on compte les cubes qui remplissent la boîte.

1. Vérifie que les trois longueurs sont dans la même unité.
2. Multiplie longueur $\times$ largeur $\times$ hauteur.
3. Écris le résultat avec l'unité au cube.

Pavé de dimensions 4 cm, 3 cm et 2 cm.

$V = L \times \ell \times h = 4 \times 3 \times 2 = 24$ $cm^3$.

Pour un cube de côté $a$, calcule $a \times a \times a$, pas $3 \times a$. Exemple : cube de côté 2 → $2^3 = 8$ et non $6$ !

Un cylindre a pour base un disque de rayon $r$. Son volume est l'aire de la base ($\pi r^2$) multipliée par la hauteur $h$ :

$V = \pi \times r^2 \times h$

On prend $\pi \approx 3{,}14$, et $h$ est la hauteur du cylindre.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pense à une pile de pièces de monnaie toutes pareilles : chaque pièce est un disque très fin d'aire $\pi \times r^2$. Si tu empiles ces disques jusqu'à une hauteur $h$, tu obtiens un cylindre, et son volume, c'est l'aire d'un disque répétée sur toute la hauteur : $\pi \times r^2 \times h$. C'est la même idée que pour le pavé (« aire de la base $\times$ hauteur »), sauf qu'ici la base est ronde.

1. Calcule l'aire du disque de base : $\pi \times r^2$.
2. Multiplie cette aire par la hauteur $h$.
3. N'oublie pas que $r$ est le rayon (la moitié du diamètre).

Cylindre de rayon $r = 3$ cm et hauteur $h = 10$ cm, avec $\pi \approx 3{,}14$.

$V = \pi \times r^2 \times h = 3{,}14 \times 3^2 \times 10 = 3{,}14 \times 9 \times 10 = 3{,}14 \times 90 = 282{,}6$ $cm^3$.

Dans $\pi r^2 h$, c'est le rayon qui est au carré, pas la hauteur ni $\pi$. Calcule $r^2$ d'abord, puis multiplie par $\pi$ et par $h$.

Entre deux unités de volume qui se suivent, on multiplie (ou divise) par 1000 (et non par 10 !) :

$1\ m^3 = 1000\ dm^3 \qquad 1\ dm^3 = 1000\ cm^3$

Lien avec les litres (à connaître par cœur) :

$1\ dm^3 = 1\ L \qquad 1\ cm^3 = 1\ mL \qquad 1\ m^3 = 1000\ L$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Un cube de $1\ dm$ de côté, c'est $1\ dm^3$. Mais $1\ dm = 10\ cm$, donc ce même cube mesure $10\ cm$ dans chaque direction. En le remplissant de petits cubes de $1\ cm$, on en met $10$ en longueur, $10$ en largeur et $10$ en hauteur, soit $10 \times 10 \times 10 = 1000$ petits cubes. Voilà pourquoi $1\ dm^3 = 1000\ cm^3$ : on multiplie par $1000$ (et non par $10$) parce qu'il y a trois dimensions, donc trois fois le facteur $10$.

1. Repère l'unité de départ et l'unité d'arrivée.
2. En descendant ($m^3 \to dm^3 \to cm^3$) : multiplie par 1000 à chaque marche.
3. En remontant ($cm^3 \to dm^3 \to m^3$) : divise par 1000 à chaque marche.

Convertir $2{,}5\ dm^3$ en $cm^3$, puis en litres.

$2{,}5\ dm^3 = 2{,}5 \times 1000 = 2500\ cm^3$.

Et comme $1\ dm^3 = 1\ L$ : $2{,}5\ dm^3 = 2{,}5\ L$.

Le piège classique : entre deux unités de volume on multiplie par 1000, pas par 10. Pense aux 3 zéros, un par dimension.

Pour ne pas te tromper, repère d'abord le solide :

Le cube est juste un pavé particulier ; le cylindre, lui, a une base ronde, d'où le $\pi$.

1. Identifie le solide (base carrée/rectangulaire ou base ronde ?).
2. Choisis la formule dans le tableau.
3. Vérifie l'unité : un volume est toujours au cube ($cm^3$…).

Une boîte de conserve est un cylindre : on utilise $V = \pi r^2 h$. Une boîte à chaussures est un pavé : on utilise $V = L \times \ell \times h$.

Base ronde (disque) → cylindre → formule avec $\pi$. Base carrée ou rectangle → pavé/cube → pas de $\pi$.