➕Nombres relatifs : addition et soustraction

Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe : $+$ pour un nombre positif, $-$ pour un nombre négatif.

• Les nombres positifs : $+3$, $+7{,}5$, $+12$ (on écrit souvent $3$, $7{,}5$, $12$).
• Les nombres négatifs : $-3$, $-7{,}5$, $-12$.
• Le nombre $0$ n'est ni positif ni négatif.

Les nombres relatifs servent à décrire des situations « en dessous de zéro » : une température de $-5\,°\text{C}$, un solde bancaire de $-30$ €, une altitude de $-200$ m.

Pour donner le signe d'un nombre :

1. S'il représente un gain, une hausse, une montée $\to$ il est positif.
2. S'il représente une perte, une baisse, une descente $\to$ il est négatif.

Une température passe de $0\,°\text{C}$ à $4$ degrés en dessous de zéro.

« en dessous de zéro » $\to$ nombre négatif : la température est $-4\,°\text{C}$.

Le signe $-$ d'un nombre négatif fait partie du nombre : $-4$ se lit « moins quatre » et désigne un seul nombre, pas une soustraction.

Sur une droite graduée, on place $0$ (l'origine), puis les positifs à droite et les négatifs à gauche.

Plus on va vers la droite, plus le nombre est grand.

Donc, pour deux nombres relatifs :

• Un positif est toujours plus grand qu'un négatif : $+2 > -5$.
• Entre deux négatifs, le plus grand est celui le plus proche de zéro : $-2 > -5$.

Pour comparer deux relatifs :

1. Imagine-les placés sur la droite graduée.
2. Le plus à droite est le plus grand.
3. Entre deux négatifs, celui qui a la plus petite distance à zéro est le plus grand.

Range $-7$, $+3$, $-2$ dans l'ordre croissant.

Sur la droite, de gauche à droite : $-7$, puis $-2$, puis $+3$.

Ordre croissant : $-7 < -2 < +3$.

Piège classique : $-5$ n'est pas plus grand que $-2$ ! Pour les négatifs, le nombre « qui paraît le plus grand » est en fait le plus petit. $-5 < -2$.

L'opposé d'un nombre relatif est le nombre de même distance à zéro mais de signe contraire.

• L'opposé de $+3$ est $-3$.
• L'opposé de $-7$ est $+7$.

La distance à zéro d'un nombre relatif est ce nombre sans son signe (c'est toujours un nombre positif).

• La distance à zéro de $-7$ est $7$.
• La distance à zéro de $+4$ est $4$.

Deux nombres opposés ont la même distance à zéro.

Pour trouver l'opposé d'un nombre :

1. Garde la même distance à zéro (le même nombre sans signe).
2. Change le signe : $+$ devient $-$, et $-$ devient $+$.

Quel est l'opposé de $-9$ ? Quelle est sa distance à zéro ?

Opposé : on change le signe $\to +9$. Distance à zéro : on enlève le signe $\to 9$.

La somme d'un nombre et de son opposé vaut toujours $0$ : $(-7) + (+7) = 0$. C'est très utile pour simplifier des calculs.

Pour additionner deux nombres relatifs, on regarde leurs signes :

• Mêmes signes : on ajoute les distances à zéro et on garde le signe commun. $(-3) + (-5) = -8$ ; $(+4) + (+6) = +10$.
• Signes différents : on soustrait les distances à zéro (la plus grande moins la plus petite) et on garde le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro. $(-7) + (+2) = -5$ ; $(+9) + (-4) = +5$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que tu te déplaces sur la droite graduée : un nombre positif te fait avancer vers la droite, un négatif vers la gauche. Pour $(-8)+(+3)$, tu recules de $8$ pas puis tu avances de $3$ : les $3$ pas en avant annulent $3$ des $8$ pas en arrière, et il reste $5$ pas vers la gauche, donc $-5$. Voilà pourquoi, quand les signes sont différents, on soustrait les distances (les pas qui s'annulent) et on garde le signe du déplacement le plus long. Quand les deux signes sont pareils, aucun pas ne s'annule : on cumule les distances dans la même direction.

1. Compare les signes des deux nombres.
2. Mêmes signes $\to$ additionne les distances à zéro, garde le signe commun.
3. Signes différents $\to$ soustrais les distances à zéro, garde le signe du nombre le plus « loin » de zéro.

Calcule $(-8) + (+3)$.

Signes différents. Distances à zéro : $8$ et $3$. On soustrait : $8 - 3 = 5$. Le nombre le plus loin de zéro est $-8$ (négatif), donc le résultat est négatif.

Résultat : $-5$.

Pense à un compte en banque : $(-8) + (+3)$, c'est devoir $8$ € puis rembourser $3$ € : il reste $5$ € de dette, soit $-5$.

Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.

$a - b = a + (\text{opposé de } b)$

On transforme toute soustraction en addition, puis on applique la règle de l'addition.

• $5 - (+3) = 5 + (-3) = 2$.
• $5 - (-3) = 5 + (+3) = 8$.
• $-4 - (+6) = -4 + (-6) = -10$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pense à un compte en banque où une dette est un nombre négatif. Retirer (soustraire) une dette de $3$ €, c'est te débarrasser de $-3$ : ton compte monte de $3$, exactement comme si on t'ajoutait $+3$. C'est pour ça que $5-(-3)$ donne le même résultat que $5+(+3)=8$. Et retirer un gain de $3$ € ($5-(+3)$), c'est comme ajouter une dette de $3$ : $5+(-3)=2$. Dans les deux cas, enlever un nombre revient à ajouter son opposé.

1. Repère la soustraction et le nombre qui suit le signe $-$.
2. Remplace « $-$ (nombre) » par « $+$ (opposé du nombre) ».
3. Effectue l'addition des deux relatifs.

Calcule $-4 - (-9)$.

Soustraire $-9$, c'est ajouter $+9$ : $-4 - (-9) = -4 + 9$. Signes différents : $9 - 4 = 5$, signe du plus grand ($+$).

Résultat : $+5$.

Deux « moins » qui se suivent donnent un « plus » — mais seulement quand on SOUSTRAIT un négatif : $-4 - (-9) = -4 + 9$. ⚠️ Ça ne marche jamais pour une addition : $-3 + (-5) = -8$ (deux dettes, ça reste une dette !). Regarde toujours si le « moins » est une soustraction ou juste un signe.