✖️Nombres relatifs : multiplication et division

Pour multiplier (ou diviser) deux nombres relatifs, le signe du résultat suit la règle des signes :

• $(+) \times (+) = (+)$
• $(-) \times (-) = (+)$
• $(+) \times (-) = (-)$
• $(-) \times (+) = (-)$

Autrement dit : mêmes signes $\to$ résultat positif ; signes différents $\to$ résultat négatif.

La même règle s'applique à la division.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? La règle $(-)\times(-)=(+)$ n'est pas un caprice : elle prolonge une suite parfaitement régulière. Multiplie $-3$ par des nombres qui descendent un à un : $-3\times 2 = -6$, puis $-3\times 1 = -3$, puis $-3\times 0 = 0$. À chaque fois que le second facteur baisse de $1$, le résultat monte de $3$. Pour que le rythme continue sans accroc, l'étape suivante doit donc valoir $0+3 = +3$ : c'est exactement $-3\times(-1) = +3$, puis $-3\times(-2) = +6$. Deux « moins » qui se rencontrent redonnent bien un « plus » !

1. Détermine le signe du résultat avec la règle des signes.
2. Calcule le produit (ou le quotient) des distances à zéro.
3. Associe le signe et la valeur trouvés.

Calcule $(-6) \times (-4)$.

Mêmes signes $\to$ résultat positif. Distances à zéro : $6 \times 4 = 24$.

Donc $(-6) \times (-4) = +24$.

Ne confonds pas avec l'addition ! Pour le produit, $(-)\times(-) = (+)$, alors que pour l'addition $(-)+(-)$ reste négatif. $(-3)\times(-3) = +9$ mais $(-3)+(-3) = -6$.

Pour multiplier deux nombres relatifs :

1. On cherche le signe (règle des signes).
2. On multiplie les distances à zéro.

Exemples :

• $(+5) \times (-3) = -15$ (signes différents).
• $(-7) \times (-2) = +14$ (mêmes signes).
• $(-8) \times (+1) = -8$.

1. Compte les signes : mêmes signes $\to +$, signes différents $\to -$.
2. Multiplie les nombres sans leur signe.
3. Écris le résultat avec son signe.

Calcule $(-9) \times (+4)$.

Signes différents $\to$ résultat négatif. $9 \times 4 = 36$.

Donc $(-9) \times (+4) = -36$.

Multiplier par $-1$ revient à prendre l'opposé : $(-1) \times 7 = -7$ et $(-1) \times (-7) = +7$.

La division de deux relatifs suit exactement la même règle des signes que la multiplication :

• $\dfrac{+}{+} = +$ et $\dfrac{-}{-} = +$ (mêmes signes $\to$ positif).
• $\dfrac{+}{-} = -$ et $\dfrac{-}{+} = -$ (signes différents $\to$ négatif).

Exemples :

• $\dfrac{-20}{+4} = -5$.
• $\dfrac{-18}{-6} = +3$.

1. Détermine le signe du quotient (règle des signes).
2. Divise les distances à zéro.
3. Associe signe et valeur.

Calcule $\dfrac{-35}{-7}$.

Mêmes signes $\to$ résultat positif. $35 \div 7 = 5$.

Donc $\dfrac{-35}{-7} = +5$.

On ne peut jamais diviser par $0$. Une écriture comme $\dfrac{-4}{0}$ n'a pas de sens.

Quand on multiplie plusieurs nombres relatifs, on regarde le nombre de facteurs négatifs :

• un nombre pair de facteurs négatifs $\to$ résultat positif ;
• un nombre impair de facteurs négatifs $\to$ résultat négatif.

(Si l'un des facteurs est $0$, le produit vaut $0$.)

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? L'astuce, c'est de ranger les facteurs négatifs deux par deux. Chaque paire de « moins » se transforme en « plus », puisque $(-)\times(-)=(+)$. Si le nombre de facteurs négatifs est pair, ils s'apparient tous : il ne reste que des « plus », donc le produit est positif. S'il est impair, toutes les paires deviennent positives mais il reste un « moins » tout seul sans partenaire, qui rend le résultat négatif. C'est pour cela qu'il suffit de compter les signes « $-$ » pour connaître le signe final, sans même calculer la valeur.

1. Compte combien de facteurs sont négatifs.
2. Nombre pair de « $-$ » $\to$ produit positif ; nombre impair $\to$ produit négatif.
3. Multiplie les distances à zéro pour obtenir la valeur.

Calcule $(-2) \times (-3) \times (-1)$.

Il y a trois facteurs négatifs (nombre impair) $\to$ résultat négatif. Valeur : $2 \times 3 \times 1 = 6$.

Donc $(-2) \times (-3) \times (-1) = -6$.

Compte les signes « moins » avant de calculer : tu connais alors le signe du résultat sans risque d'erreur, même avec beaucoup de facteurs.

Dans un calcul mêlant produits, quotients et puissances, on respecte les priorités : d'abord les puissances, puis les multiplications et divisions (de gauche à droite), enfin les additions et soustractions.

Attention aux puissances d'un nombre négatif :

• $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9$.
• $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$.

1. Calcule les puissances en respectant le signe (utilise les parenthèses).
2. Effectue les produits et quotients de gauche à droite, signe par signe.
3. Termine par les additions et soustractions.

Calcule $-2 \times (-3)^2$.

D'abord la puissance : $(-3)^2 = +9$. Puis le produit : $-2 \times 9 = -18$.

Résultat : $-18$.

$(-3)^2$ et $-3^2$ ne sont pas la même chose ! $(-3)^2 = +9$ (on élève $-3$ au carré), tandis que $-3^2 = -(3^2) = -9$ (on élève seulement $3$ au carré, puis on prend l'opposé).