📐Aires

L'aire d'une figure mesure la surface qu'elle occupe, c'est-à-dire la « place » à l'intérieur du contour.

Une aire s'exprime dans une unité d'aire : cm², m², mm²… On lit « centimètre carré » pour cm².

Attention à ne pas confondre :

• le périmètre mesure le tour (une longueur, en cm) ;
• l'aire mesure la surface (en cm²).

1. Demande-toi : on cherche le tour (périmètre) ou la surface (aire) ?
2. Si c'est l'aire, choisis la bonne formule selon la figure.
3. Calcule.
4. Écris le résultat avec une unité d'aire (cm², m²…).

Un carré de côté $3$ cm :

• périmètre : $4 \times 3 = 12$ cm (une longueur) ;
• aire : $3 \times 3 = 9$ cm² (une surface).

Un petit carré (cm²) ne se mesure pas comme une ligne (cm). Si l'unité finit par « ² », c'est une aire.

Pour un carré de côté $c$ :

$A = c \times c$

Pour un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ :

$A = L \times l$

Les deux longueurs doivent être dans la même unité ; l'aire est alors dans l'unité « carrée » correspondante (cm × cm = cm²).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que tu paves un rectangle de $5$ cm de long sur $3$ cm de large avec des petits carrés de $1$ cm de côté (des cm²). Sur chaque ligne, tu en poses $5$ côte à côte, et il y a $3$ lignes empilées : tu as donc $3$ paquets de $5$ carrés, soit $5 \times 3 = 15$ carrés. C'est exactement pour ça que l'aire vaut $L \times l$ : multiplier la longueur par la largeur, c'est juste compter astucieusement tous les petits carrés qui remplissent la surface !

1. Reconnais la figure (carré ou rectangle).
2. Vérifie que les longueurs sont dans la même unité.
3. Pour un carré : multiplie le côté par lui-même.
4. Pour un rectangle : multiplie la longueur par la largeur.
5. Mets l'unité d'aire (cm²).

Carré de côté $5$ cm : $A = 5 \times 5 = 25$ cm².

Rectangle $L = 8$ cm, $l = 3$ cm : $A = 8 \times 3 = 24$ cm².

Aire du carré $= c \times c$ (et pas $4 \times c$, qui est le périmètre).

Pour un triangle, on utilise une base et la hauteur qui lui correspond (la hauteur arrive perpendiculairement sur cette base) :

$A = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$

On peut le voir comme la moitié d'un rectangle de mêmes base et hauteur.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prends un triangle et enferme-le pile dans un rectangle de même base et de même hauteur. La hauteur du triangle partage ce rectangle en deux petits rectangles. Dans chaque petit rectangle, le bord du triangle est une diagonale : or une diagonale coupe toujours un rectangle en deux triangles identiques (le même retourné). Donc dans chaque petit rectangle, le triangle en occupe pile la moitié. En réunissant les deux, le triangle occupe la moitié du grand rectangle. Et comme l'aire du rectangle est $\text{base} \times \text{hauteur}$, celle du triangle est cette aire divisée par $2$. Voilà le secret du « $\div 2$ » !

1. Repère une base et la hauteur correspondante.
2. Vérifie qu'elles sont dans la même unité.
3. Multiplie la base par la hauteur.
4. Divise le résultat par $2$.
5. Mets l'unité d'aire (cm²).

Triangle de base $6$ cm et de hauteur $4$ cm :

$A = \dfrac{6 \times 4}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$ cm².

N'oublie pas de diviser par $2$ ! Sans cette division, tu calcules l'aire d'un rectangle, pas d'un triangle.

Le disque est la surface à l'intérieur d'un cercle. Son aire se calcule avec le rayon $r$ :

$A = \pi \times r \times r$

On prend $\pi \approx 3{,}14$. Comme on multiplie $r$ par lui-même, le résultat est bien une aire (en cm²).

1. Repère le rayon $r$ (si on te donne le diamètre, divise par $2$).
2. Calcule $r \times r$ d'abord.
3. Multiplie ce résultat par $3{,}14$.
4. Mets l'unité d'aire (cm²) et le signe ≈ (car $\pi$ est arrondi).

Disque de rayon $r = 5$ cm :

$A = \pi \times r \times r \approx 3{,}14 \times 5 \times 5 = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5$ cm².

Ne confonds pas : longueur du cercle $= 2 \times \pi \times r$ (en cm), aire du disque $= \pi \times r \times r$ (en cm²).