⭕Le cercle

Un cercle de centre $O$ est l'ensemble de tous les points situés à la même distance du point $O$.

Cette distance commune s'appelle le rayon du cercle.

Un rayon est aussi le nom d'un segment qui relie le centre $O$ à un point du cercle.

Pour bien comprendre le rayon :

1. Place le centre $O$.
2. Choisis un point $A$ du cercle.
3. La longueur $OA$ est le rayon : elle est la même pour tous les points du cercle.

Si le rayon d'un cercle de centre $O$ est de $3$ cm, alors tous les points du cercle sont à $3$ cm de $O$.

Tous les points d'un cercle sont à la même distance du centre : cette distance est le rayon.

Le compas sert à tracer un cercle. L'écartement du compas correspond au rayon du cercle.

Pour tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $4$ cm :

1. Place la pointe du compas sur la règle pour régler un écartement de $4$ cm.
2. Pique la pointe du compas sur le point $O$.
3. Fais tourner le compas d'un tour complet sans changer l'écartement.
4. Tu obtiens le cercle de centre $O$ et de rayon $4$ cm.

Avec un écartement de $4$ cm et la pointe sur $O$, le crayon dessine un cercle dont tous les points sont à $4$ cm de $O$.

Ne change jamais l'écartement du compas pendant le tracé, sinon le cercle est faux.

Un diamètre est un segment qui relie deux points du cercle en passant par le centre $O$.

Le diamètre est le double du rayon :

$\text{diamètre} = 2 \times \text{rayon}$

Et donc, à l'inverse : $\text{rayon} = \text{diamètre} \div 2$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine un diamètre tracé d'un bout à l'autre du cercle : il passe par le centre $O$. Or $O$ coupe ce diamètre en deux morceaux, et chaque morceau relie le centre à un point du cercle... c'est donc un rayon ! Le diamètre est ainsi fait de deux rayons mis bout à bout : $r + r = 2 \times r$. Voilà pourquoi le diamètre est toujours exactement deux fois le rayon.

Pour passer du rayon au diamètre (ou l'inverse) :

1. Du rayon vers le diamètre : multiplie par 2.
2. Du diamètre vers le rayon : divise par 2.

Un cercle a un rayon de $5$ cm. Son diamètre vaut $2 \times 5 = 10$ cm.

À l'inverse, un cercle de diamètre $8$ cm a un rayon de $8 \div 2 = 4$ cm.

Retiens : diamètre = 2 × rayon. Le diamètre est toujours deux fois plus grand que le rayon.

Une corde est un segment qui relie deux points du cercle.

Une corde ne passe pas forcément par le centre. Le diamètre est la plus grande corde possible : c'est la corde qui passe par le centre.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prends une corde $[AB]$ qui ne passe pas par le centre. Au lieu d'aller tout droit de $A$ à $B$, fais un détour en passant par le centre $O$ : le chemin $A \to O \to B$ mesure $OA + OB = r + r$, soit un diamètre entier. Or, quand on ne va pas tout droit, faire un détour est toujours plus long que la ligne directe : la corde $[AB]$ est donc plus courte que ce diamètre. Seule la corde qui passe par le centre ne fait aucun détour : c'est le diamètre lui-même. Voilà pourquoi le diamètre est la plus longue de toutes les cordes.

Pour distinguer corde et diamètre :

1. Regarde si le segment relie deux points du cercle → c'est une corde.
2. Regarde s'il passe par le centre $O$ → alors c'est aussi un diamètre.

Un segment $[AB]$ reliant deux points du cercle sans passer par $O$ est une corde. Si $[AB]$ passe par $O$, c'est un diamètre.

Toute corde qui passe par le centre est un diamètre ; c'est la plus longue de toutes les cordes.

Un point $M$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $r$ si la distance $OM$ est égale au rayon $r$.

Si $OM < r$, le point est à l'intérieur du cercle ; si $OM > r$, il est à l'extérieur.

Pour savoir si $M$ appartient au cercle :

1. Mesure (ou calcule) la distance $OM$.
2. Compare $OM$ au rayon $r$.
3. Si $OM = r$ → $M$ est sur le cercle ; si $OM < r$ → dedans ; si $OM > r$ → dehors.

Cercle de centre $O$ et de rayon $5$ cm. Si $OM = 5$ cm, $M$ est sur le cercle. Si $OM = 3$ cm, $M$ est dedans. Si $OM = 7$ cm, $M$ est dehors.

« Sur le cercle » veut dire exactement à la distance du rayon, ni plus ni moins.