🔺Figures planes

Une droite $(AB)$ est illimitée des deux côtés : elle n'a ni début ni fin.

Un segment $[AB]$ est la portion de droite entre les deux points $A$ et $B$ : il a deux extrémités et une longueur.

Une demi-droite $[AB)$ a une origine ($A$) mais est illimitée de l'autre côté.

Pour reconnaître ces objets, regarde les crochets et parenthèses :

1. Deux parenthèses $(AB)$ → une droite (illimitée).
2. Deux crochets $[AB]$ → un segment (entre $A$ et $B$).
3. Un crochet et une parenthèse $[AB)$ → une demi-droite (origine $A$).

$[AB]$ est un segment : on peut mesurer sa longueur, par exemple $AB = 5$ cm. $(AB)$ est une droite : on ne peut pas mesurer sa longueur car elle est illimitée.

Seul le segment $[AB]$ a une longueur. La droite, elle, n'en a pas : elle continue à l'infini.

Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit (un angle de $90°$).

On note $(d_1) \perp (d_2)$.

Sur un dessin, l'angle droit se repère par un petit carré placé au point d'intersection.

Pour tracer la perpendiculaire à une droite $(d)$ passant par un point $A$ :

1. Pose un côté de l'équerre le long de $(d)$.
2. Fais glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté passe par $A$.
3. Trace le long de ce côté : la droite obtenue est perpendiculaire à $(d)$.

Les deux côtés d'un cadre de tableau forment un angle de $90°$ : ils sont perpendiculaires.

Perpendiculaire = angle droit = équerre. Le symbole à retenir est $\perp$.

Deux droites sont parallèles quand elles ne se coupent jamais, même prolongées très loin. On dit aussi qu'elles ont toujours le même écartement.

On note $(d_1) \parallel (d_2)$.

Deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi deux droites perpendiculaires à une même droite $(d)$ sont-elles parallèles ? Imagine $(d)$ comme le sol bien horizontal. Une droite perpendiculaire au sol monte tout droit, parfaitement verticale ; une autre droite perpendiculaire au même sol monte, elle aussi, parfaitement verticale. Comme elles partent toutes les deux dans exactement la même direction (« tout droit vers le haut »), elles ne se rapprochent ni ne s'éloignent jamais l'une de l'autre : elles ne se rencontreront donc jamais, ce sont des droites parallèles. C'est pour ça que les barreaux d'une échelle, tous perpendiculaires aux deux montants, restent parallèles entre eux.

Pour vérifier que deux droites sont parallèles :

1. Mesure l'écartement entre elles à un endroit.
2. Mesure l'écartement à un autre endroit.
3. Si l'écartement est toujours le même, elles sont parallèles.

Les deux rails d'une voie de chemin de fer sont parallèles : ils gardent toujours le même écartement et ne se touchent jamais.

Parallèles = jamais d'intersection = même écartement partout. Le symbole est $\parallel$.

Un triangle a 3 côtés et 3 sommets. Certains triangles sont particuliers :

• triangle équilatéral : ses 3 côtés ont la même longueur (et ses 3 angles mesurent chacun $60°$) ;
• triangle isocèle : il a 2 côtés de même longueur ;
• triangle rectangle : il a un angle droit ($90°$).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent-ils chacun $60°$ ? D'abord, comme ses trois côtés sont identiques, le triangle est parfait : si tu le fais tourner d'un sommet à l'autre, il se superpose exactement à lui-même, donc ses trois angles sont forcément égaux. Or les trois angles d'un triangle se complètent toujours pour faire $180°$ (déchire les trois coins d'un triangle en papier et pose-les côte à côte : ils forment une ligne droite, un angle plat de $180°$). Si trois angles égaux se partagent ces $180°$, chacun reçoit $180 \div 3 = 60°$.

Pour reconnaître un triangle particulier :

1. Compare les longueurs des côtés (à la règle ou au compas).
2. Si les 3 côtés sont égaux → équilatéral.
3. Si seulement 2 côtés sont égaux → isocèle.
4. Cherche un angle droit (à l'équerre) → rectangle.

Un triangle dont les côtés mesurent $4$ cm, $4$ cm et $4$ cm est équilatéral. Un triangle avec un angle de $90°$ est rectangle.

Équilatéral = 3 côtés égaux ; isocèle = 2 côtés égaux. Un équilatéral est aussi isocèle, mais l'inverse n'est pas toujours vrai.

Le rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits. Ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Le carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur.

Le carré est donc un rectangle particulier (un rectangle dont tous les côtés sont égaux).

Pour reconnaître un carré ou un rectangle :

1. Vérifie qu'il y a 4 angles droits (à l'équerre).
2. Mesure les 4 côtés.
3. Si les 4 côtés sont égaux → carré ; sinon → rectangle.

Une figure avec 4 angles droits et des côtés de $3$ cm, $5$ cm, $3$ cm, $5$ cm est un rectangle. Si les 4 côtés mesurent $3$ cm, c'est un carré.

Carré = rectangle + tous les côtés égaux. Tout carré est un rectangle, mais tous les rectangles ne sont pas des carrés.

Le losange est un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur.

Ses côtés opposés sont parallèles. Attention : un losange n'a pas forcément d'angle droit.

Le carré est un losange particulier : c'est un losange qui a, en plus, 4 angles droits.

Pour reconnaître un losange :

1. Mesure les 4 côtés au compas ou à la règle.
2. Si les 4 côtés ont la même longueur → c'est un losange.
3. S'il a en plus 4 angles droits → c'est un carré.

Un quadrilatère dont les 4 côtés mesurent $5$ cm, sans angle droit, est un losange (mais pas un carré).

Losange = 4 côtés égaux. Carré = losange + angles droits.