🔄Symétrie axiale

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite $(d)$ si, en pliant la feuille le long de $(d)$, elles se superposent exactement.

La droite $(d)$ s'appelle l'axe de symétrie.

On dit aussi qu'une figure possède un axe de symétrie si on peut la plier en deux parties qui se superposent parfaitement.

Pour vérifier qu'une droite est un axe de symétrie d'une figure :

1. Imagine (ou fais vraiment) le pliage de la feuille le long de la droite.
2. Regarde si les deux moitiés se recouvrent exactement.
3. Si oui, la droite est un axe de symétrie ; sinon, elle ne l'est pas.

Un papillon dessiné de face possède un axe de symétrie vertical : en pliant le long de cet axe, l'aile gauche vient sur l'aile droite.

Le mot clé, c'est pliage. Si le pliage superpose les deux moitiés, tu as un axe de symétrie.

Le symétrique d'un point $A$ par rapport à une droite $(d)$ est le point $A'$ tel que $(d)$ soit la médiatrice du segment $[AA']$.

Cela veut dire deux choses :

• la droite $(d)$ est perpendiculaire à $[AA']$ ;
• la droite $(d)$ passe par le milieu de $[AA']$, donc $A$ et $A'$ sont à la même distance de $(d)$.

Si le point $A$ est sur la droite $(d)$, alors son symétrique est lui-même : $A' = A$.

Pour construire $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $(d)$ :

1. Trace la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$ (à l'équerre).
2. Repère le point $H$ où cette perpendiculaire coupe $(d)$.
3. Mesure la distance $AH$.
4. De l'autre côté de $(d)$, place $A'$ sur la perpendiculaire avec $HA' = AH$.

Le point $A$ est à $2$ cm de la droite $(d)$. Son symétrique $A'$ est aussi à $2$ cm de $(d)$, de l'autre côté. La distance totale entre $A$ et $A'$ vaut $2 + 2 = 4$ cm.

⚠️ Le symétrique est de l'autre côté de l'axe, à la même distance. On mesure toujours perpendiculairement à l'axe.

Pour obtenir le symétrique d'une figure (segment, triangle…), on construit le symétrique de chacun de ses points importants (les extrémités, les sommets), puis on relie ces points symétriques dans le même ordre.

Pour le symétrique d'un triangle $ABC$ par rapport à $(d)$ :

1. Construis $A'$, symétrique de $A$.
2. Construis $B'$, symétrique de $B$.
3. Construis $C'$, symétrique de $C$.
4. Trace le triangle $A'B'C'$ en reliant les trois points.

Un segment $[AB]$ mesure $5$ cm. Son symétrique $[A'B']$ mesure aussi $5$ cm : la symétrie ne change pas les longueurs.

On ne construit jamais une figure « à l'œil » : on place d'abord chaque sommet symétrique, puis on relie.

La symétrie axiale conserve :

• les longueurs (un segment et son symétrique ont la même longueur) ;
• les angles (un angle et son symétrique ont la même mesure) ;
• l'alignement, les milieux et les aires.

Autrement dit, une figure et son symétrique sont identiques : ils ont la même forme et la même taille (on dit qu'ils sont superposables).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Rappelle-toi que la symétrie, c'est un pliage. Quand tu plies la feuille le long de l'axe, la figure de départ vient se poser pile sur son symétrique : chaque trait recouvre exactement son image. Or un pliage ne fait que retourner le papier sans l'étirer ni le déchirer : un segment de $5$ cm reste long de $5$ cm une fois retourné, et un angle de $40°$ reste écarté de $40°$. C'est pour ça que la symétrie garde toutes les longueurs et tous les angles : rien ne s'allonge, rien ne se déforme, on a juste retourné le dessin.

Quand on te demande une longueur ou un angle après symétrie :

1. Repère le segment (ou l'angle) de la figure de départ.
2. Trouve son image par la symétrie.
3. Recopie la même mesure : rien n'a changé.

Dans un triangle, l'angle $\widehat{A}$ mesure $40°$. Le symétrique de cet angle, l'angle $\widehat{A'}$, mesure aussi $40°$.

Retiens : la symétrie garde tout (longueurs et angles). Seule la position change.

La médiatrice d'un segment $[AB]$ est la droite qui :

• est perpendiculaire à $[AB]$ ;
• passe par le milieu de $[AB]$.

La médiatrice est l'axe de symétrie du segment $[AB]$. Tout point de la médiatrice est à égale distance de $A$ et de $B$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi tout point $M$ de la médiatrice est-il à égale distance de $A$ et de $B$ ? Plie la feuille le long de la médiatrice : comme c'est l'axe de symétrie du segment, le point $A$ vient exactement sur $B$. Un point $M$ posé sur le pli, lui, ne bouge pas. En pliant, le segment $[MA]$ se couche donc pile sur $[MB]$ : ils ont forcément la même longueur, et $MA = MB$. Voilà pourquoi un point de la médiatrice est toujours à la même distance des deux bouts.

Pour tracer la médiatrice de $[AB]$ à l'équerre :

1. Repère le milieu $M$ de $[AB]$ (par exemple à la règle graduée).
2. Trace la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par $M$.
3. C'est la médiatrice de $[AB]$.

Le segment $[AB]$ mesure $6$ cm. Son milieu $M$ est à $6 \div 2 = 3$ cm de $A$ et à $3$ cm de $B$. La médiatrice passe par $M$ et coupe $[AB]$ à angle droit.

Médiatrice = perpendiculaire + milieu. Si l'un des deux manque, ce n'est pas la médiatrice.