🔔Loi normale

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ (espérance) et $\sigma^2$ (variance, $\sigma > 0$), notée $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, lorsque sa densité de probabilité est représentée par la courbe en cloche (courbe de Gauss).

On a alors $E(X) = \mu$, $V(X) = \sigma^2$ et $\sigma(X) = \sigma$.

Propriétés de la courbe :

$\bullet$ Elle est symétrique par rapport à la droite $x = \mu$.

$\bullet$ Son maximum est atteint en $x = \mu$.

$\bullet$ L'aire totale sous la courbe vaut $1$.

$\bullet$ $\sigma$ règle la « largeur » : plus $\sigma$ est petit, plus la courbe est resserrée autour de $\mu$.

Une probabilité $P(a \le X \le b)$ est l'aire sous la courbe entre $a$ et $b$.

Pour identifier une loi normale :

1. Repère l'espérance $\mu$ (centre de symétrie de la cloche).
2. Repère l'écart-type $\sigma$ (attention : le second paramètre est $\sigma^2$, la variance).
3. Note bien : $E(X) = \mu$, $V(X) = \sigma^2$, $\sigma(X) = \sigma$.

La taille (en cm) des élèves d'un lycée suit $\mathcal{N}(170\,;\,64)$.

Ici $\mu = 170$ (taille moyenne) et $\sigma^2 = 64$, donc $\sigma = \sqrt{64} = 8$ cm.

La courbe est symétrique autour de $170$ ; la taille « typique » varie d'environ $8$ cm autour de la moyenne.

Le second paramètre de $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ est la variance $\sigma^2$, pas l'écart-type. Pour avoir $\sigma$, prends la racine carrée : ici $\sqrt{64} = 8$.

Grâce à la symétrie de la courbe autour de $x = \mu$, on a des relations très utiles :

$P(X \le \mu) = P(X \ge \mu) = 0{,}5.$

Pour la loi normale (variable continue), un point isolé a une probabilité nulle : $P(X = a) = 0$. Par conséquent

$P(X \le a) = P(X < a), \qquad P(a \le X \le b) = P(a < X < b).$

Autres relations issues du complémentaire :

$P(X \ge a) = 1 - P(X \le a),$

$P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a).$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $P(X \le \mu) = 0{,}5$ pile, sans le moindre calcul ? Imagine que tu plies la courbe en cloche le long de la verticale $x = \mu$ : les deux moitiés se superposent exactement, car la courbe est symétrique par rapport à cet axe. L'aire à gauche de $\mu$ est donc la copie miroir de l'aire à droite : ces deux aires sont égales. Or ensemble elles remplissent toute l'aire sous la courbe, qui vaut $1$ ; chacune vaut donc forcément $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$. C'est la moyenne qui coupe la population en deux parts rigoureusement égales.

1. Pour « $X$ inférieur à la moyenne », pense à $0{,}5$.
2. Pour passer de $\le$ à $\ge$, utilise le complémentaire ($1 - \dots$).
3. Pour un intervalle, fais la différence des cumulées : $P(X \le b) - P(X \le a)$.

Soit $X \sim \mathcal{N}(170\,;\,64)$, donc $\mu = 170$.

$P(X \le 170) = 0{,}5$ par symétrie (la moitié des élèves mesurent moins de $170$ cm).

Si $P(X \le 180) = 0{,}894$, alors $P(X \ge 180) = 1 - 0{,}894 = 0{,}106$.

Comme $P(X = a) = 0$, les inégalités strictes et larges donnent la même probabilité. Inutile de t'inquiéter du « $\le$ ou $<$ » avec une loi normale.

La loi normale centrée réduite est la loi $\mathcal{N}(0,1)$ : espérance $\mu = 0$ et écart-type $\sigma = 1$. On la note souvent $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$.

Centrer-réduire. Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, alors la variable

$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$

suit la loi $\mathcal{N}(0,1)$. On « centre » en retirant $\mu$, puis on « réduit » en divisant par $\sigma$.

Cela permet de ramener tout calcul à $\mathcal{N}(0,1)$ :

$P(X \le a) = P\!\left(Z \le \dfrac{a - \mu}{\sigma}\right).$

La courbe de $\mathcal{N}(0,1)$ est symétrique par rapport à $0$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$ a-t-elle pile une moyenne $0$ et un écart-type $1$ ? C'est une transformation affine $Z = aX + b$ avec $a = \dfrac{1}{\sigma}$ et $b = -\dfrac{\mu}{\sigma}$, et tu connais ses règles (chapitre précédent) : $E(aX+b) = aE(X)+b$ et $V(aX+b) = a^2 V(X)$. On calcule : $E(Z) = \dfrac{\mu}{\sigma} - \dfrac{\mu}{\sigma} = 0$ (retirer $\mu$ recentre la cloche sur $0$), et $V(Z) = \dfrac{1}{\sigma^2}\times\sigma^2 = 1$ donc $\sigma(Z)=1$ (diviser par $\sigma$ ramène la « largeur » à $1$). Centrer-réduire, c'est juste glisser la cloche jusqu'à $0$ puis la dilater pour que son écart-type devienne l'unité : sa forme ne change pas, seules l'échelle et la position bougent.

Pour centrer-réduire et calculer $P(X \le a)$ :

1. Calcule la valeur centrée réduite $z = \dfrac{a - \mu}{\sigma}$.
2. Cherche $P(Z \le z)$ (calculatrice ou table).
3. Pour un intervalle, centre-réduis les deux bornes.

Soit $X \sim \mathcal{N}(170\,;\,64)$ ($\mu = 170$, $\sigma = 8$). On veut $P(X \le 178)$.

Centrer-réduire : $z = \dfrac{178 - 170}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$.

Donc $P(X \le 178) = P(Z \le 1) \approx 0{,}841$.

Environ $84{,}1\,\%$ des élèves mesurent au plus $178$ cm.

La valeur $z = \dfrac{a - \mu}{\sigma}$ indique « à combien d'écarts-types de la moyenne » se trouve $a$. Ici $z = 1$ : $178$ est à exactement $1\sigma$ au-dessus de la moyenne.

Pour calculer $P(a \le X \le b)$ avec $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, on utilise la fonction de répartition (cumulée) :

$P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a).$

À la calculatrice, la fonction normalCdf (ou normalFRép) renvoie directement $P(a \le X \le b)$ : on saisit la borne inférieure $a$, la borne supérieure $b$, puis $\mu$ et $\sigma$.

Pour les bornes infinies, on utilise une très grande valeur ($\pm 10^{99}$ ou $\pm \infty$ selon la machine) :

$P(X \le b) = P(-\infty < X \le b), \qquad P(X \ge a) = P(a \le X < +\infty).$

1. Identifie $\mu$ et $\sigma$ (pas $\sigma^2$ !) pour la calculatrice.
2. Pour $P(a \le X \le b)$ : normalCdf(a, b, \mu, \sigma).
3. Pour $P(X \le b)$ : borne inférieure $= -10^{99}$.
4. Pour $P(X \ge a)$ : borne supérieure $= 10^{99}$.

Soit $X \sim \mathcal{N}(170\,;\,64)$ ($\mu = 170$, $\sigma = 8$). Calculons $P(162 \le X \le 178)$.

Les bornes correspondent à $z_1 = \dfrac{162-170}{8} = -1$ et $z_2 = \dfrac{178-170}{8} = +1$.

C'est l'intervalle $[\mu - \sigma\,;\,\mu + \sigma]$, donc

$P(162 \le X \le 178) = P(-1 \le Z \le 1) \approx 0{,}683$.

Environ $68{,}3\,\%$ des élèves mesurent entre $162$ et $178$ cm.

Attention : sur la calculatrice, on saisit l'écart-type $\sigma$, pas la variance $\sigma^2$. Avec $\mathcal{N}(170\,;\,64)$, tu entres $\sigma = 8$, jamais $64$.

Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, on retient trois intervalles « $1\sigma$, $2\sigma$, $3\sigma$ » :

$P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0{,}68 \;(68\,\%),$

$P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}95 \;(95\,\%),$

$P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997 \;(99{,}7\,\%).$

Valeurs plus précises souvent demandées :

$\bullet$ $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0{,}683$ ;

$\bullet$ $P(\mu - 1{,}96\,\sigma \le X \le \mu + 1{,}96\,\sigma) \approx 0{,}95$ (exactement $95\,\%$ avec le coefficient $1{,}96$).

La règle « $\approx 95\,\%$ à $2\sigma$ » est l'approximation à retenir par cœur.

1. Calcule $\mu - k\sigma$ et $\mu + k\sigma$ pour $k = 1, 2$ ou $3$.
2. Associe l'intervalle à sa probabilité usuelle ($68\,\%$, $95\,\%$, $99{,}7\,\%$).
3. Pour une « queue » seule, retranche de $1$ puis divise par $2$ (symétrie).

Soit $X \sim \mathcal{N}(170\,;\,64)$ ($\mu = 170$, $\sigma = 8$).

Intervalle à $2\sigma$ : $[\mu - 2\sigma\,;\,\mu + 2\sigma] = [170 - 16\,;\,170 + 16] = [154\,;\,186]$.

$P(154 \le X \le 186) \approx 0{,}95$ : environ $95\,\%$ des élèves mesurent entre $154$ et $186$ cm.

Probabilité de dépasser $186$ cm : par symétrie, $P(X \ge 186) \approx \dfrac{1 - 0{,}95}{2} = 0{,}025$, soit $2{,}5\,\%$.

Mémorise « $68$ - $95$ - $99{,}7$ » pour $1$, $2$, $3$ écarts-types. Pour une seule queue à $2\sigma$ : $\dfrac{1 - 0{,}95}{2} = 0{,}025$ (la moitié des $5\,\%$ restants).

La symétrie de la cloche autour de $\mu$ permet de calculer les probabilités des queues (les zones extrêmes) sans calculatrice, quand on connaît la probabilité d'un intervalle centré.

Si $P(\mu-k\sigma\le X\le\mu+k\sigma)=q$, alors les deux queues se partagent le reste $1-q$ à parts égales :

$P(X\ge\mu+k\sigma)=P(X\le\mu-k\sigma)=\dfrac{1-q}{2}.$

Exemples à retenir :

$\bullet$ à $2\sigma$ ($q\approx 0{,}95$) : chaque queue vaut $\dfrac{1-0{,}95}{2}=0{,}025$ ;

$\bullet$ à $1\sigma$ ($q\approx 0{,}68$) : chaque queue vaut $\dfrac{1-0{,}68}{2}=0{,}16$.

On combine aussi avec $P(X\le\mu)=0{,}5$ pour des zones « d'un seul côté » de la moyenne.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi chaque queue vaut exactement $\dfrac{1-q}{2}$ ? L'axe de symétrie $x=\mu$ est le milieu de l'intervalle $[\mu-k\sigma\,;\,\mu+k\sigma]$ : en pliant la courbe sur cet axe, la queue de gauche (au-delà de $\mu-k\sigma$) se superpose exactement à la queue de droite (au-delà de $\mu+k\sigma$), donc ces deux aires sont égales. L'aire totale vaut $1$, et elle se découpe en trois morceaux : la bosse centrale d'aire $q$, plus les deux queues identiques. D'où $q + 2\times(\text{une queue}) = 1$, soit une queue $= \dfrac{1-q}{2}$. C'est juste le reste $1-q$ partagé équitablement entre les deux côtés.

Pour une queue à $k\sigma$ :

1. Pars de la probabilité $q$ de l'intervalle centré $[\mu-k\sigma\,;\,\mu+k\sigma]$.
2. Calcule le reste $1-q$.
3. Divise par $2$ (symétrie) : chaque queue vaut $\dfrac{1-q}{2}$.

$X\sim\mathcal{N}(170\,;\,64)$, $P(154\le X\le 186)\approx 0{,}95$.

$P(X\ge 186)\approx\dfrac{1-0{,}95}{2}=0{,}025$, soit $2{,}5\,\%$ des élèves mesurant plus de $186$ cm.

Pour une queue : $\dfrac{1-q}{2}$. Ne divise pas par $2$ si tu veux les deux queues réunies (là, c'est $1-q$ tout court).