📊Variables aléatoires et concentration

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1, \dots, x_m$ avec les probabilités $p_1, \dots, p_m$.

$\bullet$ Espérance (valeur moyenne) :

$E(X) = \sum_{i=1}^{m} x_i\, p_i.$

$\bullet$ Variance (dispersion) :

$V(X) = \sum_{i=1}^{m} (x_i - E(X))^2\, p_i = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.$

$\bullet$ Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

La variance est toujours $\ge 0$ ; elle s'exprime dans le carré de l'unité de $X$, alors que l'écart-type a la même unité que $X$.

1. Dresse la loi de probabilité (valeurs $x_i$ et probabilités $p_i$, vérifie que $\sum p_i = 1$).
2. Calcule $E(X) = \sum x_i p_i$.
3. Calcule $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$.
4. Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, puis $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Un jeu : $X$ vaut $-1$ avec probabilité $0{,}5$, $0$ avec probabilité $0{,}3$, et $4$ avec probabilité $0{,}2$.

$E(X) = (-1)\times 0{,}5 + 0 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}2 = -0{,}5 + 0 + 0{,}8 = 0{,}3$.

$E(X^2) = 1 \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}3 + 16 \times 0{,}2 = 0{,}5 + 3{,}2 = 3{,}7$.

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3{,}7 - 0{,}3^2 = 3{,}7 - 0{,}09 = 3{,}61$.

$\sigma(X) = \sqrt{3{,}61} = 1{,}9$.

La formule $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ est presque toujours la plus rapide. Attention : c'est $E(X^2)$ (espérance des carrés), différent de $(E(X))^2$ (carré de l'espérance).

Pour tous réels $a$ et $b$, la variable $Y = aX + b$ vérifie :

$E(aX + b) = a\,E(X) + b,$

$V(aX + b) = a^2\, V(X), \qquad \sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X).$

Points clés :

$\bullet$ L'espérance est affine : on multiplie par $a$ et on ajoute $b$.

$\bullet$ La constante $b$ n'a aucun effet sur la variance (un décalage ne change pas la dispersion) : $V(X + b) = V(X)$.

$\bullet$ Le facteur $a$ intervient au carré dans la variance.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? La variance mesure la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : $V(X)=E\big[(X-E(X))^2\big]$. Posons $Y=aX+b$ ; comme $E(Y)=aE(X)+b$, l'écart se simplifie joliment : $Y-E(Y)=(aX+b)-(aE(X)+b)=a\,(X-E(X))$, le $+b$ s'efface des deux côtés. En élevant au carré, chaque écart est multiplié par $a^2$, donc $V(Y)=a^2V(X)$. Image concrète : translater tout un nuage de points de $b$ ne l'étale pas davantage (la dispersion ignore $b$), tandis que le dilater d'un facteur $a$ étire chaque distance par $a$, donc les distances au carré par $a^2$.

Connaissant $E(X)$ et $V(X)$, pour $Y = aX + b$ :

1. $E(Y) = a\,E(X) + b$.
2. $V(Y) = a^2\,V(X)$ (la constante $b$ disparaît).
3. $\sigma(Y) = |a|\,\sigma(X)$.

On donne $E(X) = 2$ et $V(X) = 5$. Soit $Y = 3X - 4$.

$E(Y) = 3 \times 2 - 4 = 6 - 4 = 2$.

$V(Y) = 3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45$.

$\sigma(Y) = |3|\,\sqrt{5} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}708$.

Erreur fréquente : écrire $V(aX+b) = aV(X)+b$. NON. La variance ignore $b$ et multiplie par $a^2$ : $V(aX+b) = a^2 V(X)$.

Pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$ (quelconques), l'espérance est linéaire :

$E(X + Y) = E(X) + E(Y).$

Pour la variance, l'additivité n'est vraie que si $X$ et $Y$ sont indépendantes :

$V(X + Y) = V(X) + V(Y) \quad \text{(si } X, Y \text{ indépendantes)}.$

Plus généralement, si $X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes et de même loi que $X$, et si $S_n = X_1 + \dots + X_n$ :

$E(S_n) = n\,E(X), \qquad V(S_n) = n\,V(X).$

C'est ainsi qu'on retrouve $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ pour la loi binomiale (somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes).

1. L'espérance d'une somme est toujours la somme des espérances.
2. Pour la variance d'une somme, vérifie d'abord l'indépendance.
3. Si indépendantes : $V(\text{somme}) =$ somme des variances.
4. Pour $n$ variables identiques : multiplie par $n$.

Soit $X$ le résultat d'un dé équilibré : $E(X) = 3{,}5$ et $V(X) = \dfrac{35}{12} \approx 2{,}9167$.

On lance le dé $4$ fois indépendamment ; soit $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$.

$E(S) = 4 \times 3{,}5 = 14$.

$V(S) = 4 \times \dfrac{35}{12} = \dfrac{140}{12} = \dfrac{35}{3} \approx 11{,}667$.

L'espérance s'ajoute sans condition. La variance ne s'ajoute que si les variables sont indépendantes. Ne confonds pas les deux règles.

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu = E(X)$ et de variance $V(X)$. Pour tout réel $\delta > 0$ :

$P\big(|X - \mu| \ge \delta\big) \le \dfrac{V(X)}{\delta^2}.$

Autrement dit, la probabilité de s'écarter de la moyenne de plus de $\delta$ est majorée par $\dfrac{V(X)}{\delta^2}$.

Cette inégalité est universelle (valable pour toute loi dès que la variance existe), mais souvent peu précise : elle donne une majoration grossière, pas une valeur exacte.

On en déduit aussi : $P\big(|X - \mu| < \delta\big) \ge 1 - \dfrac{V(X)}{\delta^2}$.

1. Identifie $\mu = E(X)$, $V(X)$ et l'écart $\delta$ considéré.
2. Applique $P(|X-\mu| \ge \delta) \le \dfrac{V(X)}{\delta^2}$.
3. Pour l'événement « rester proche », passe au complémentaire : $\ge 1 - \dfrac{V(X)}{\delta^2}$.

Soit $X$ avec $E(X) = 50$ et $V(X) = 25$. Majorons $P(|X - 50| \ge 10)$.

Ici $\delta = 10$, donc $\delta^2 = 100$.

$P(|X - 50| \ge 10) \le \dfrac{V(X)}{\delta^2} = \dfrac{25}{100} = 0{,}25$.

La probabilité de s'écarter d'au moins $10$ de la moyenne est donc au plus $0{,}25$. On en déduit $P(|X-50| < 10) \ge 1 - 0{,}25 = 0{,}75$.

Bienaymé-Tchebychev donne une majoration (un « au plus »), pas une valeur exacte. Si tu trouves un nombre $> 1$, c'est juste une majoration inutile (la probabilité reste $\le 1$).

On répète $n$ fois, de façon indépendante, une même expérience. Soit $X_1, \dots, X_n$ des variables indépendantes de même loi que $X$, d'espérance $\mu = E(X)$. La moyenne de l'échantillon est

$M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}.$

Alors $E(M_n) = \mu$ et $V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$.

La variance de $M_n$ tend vers $0$ quand $n$ augmente : la moyenne se concentre autour de $\mu$. C'est l'inégalité de concentration : pour tout $\delta > 0$,

$P\big(|M_n - \mu| \ge \delta\big) \le \dfrac{V(X)}{n\,\delta^2}.$

C'est la loi (faible) des grands nombres : pour $n$ grand, la moyenne observée $M_n$ est, avec une probabilité proche de $1$, très proche de l'espérance $\mu$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? L'inégalité de concentration n'est pas une nouvelle loi : c'est simplement Bienaymé-Tchebychev appliquée à la variable $M_n$. Celle-ci a pour espérance $\mu$ et pour variance $V(M_n)=\dfrac{V(X)}{n}$. En remplaçant $V$ par $\dfrac{V(X)}{n}$ dans $P(|M_n-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V(M_n)}{\delta^2}$, on obtient directement la majoration $P(|M_n-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V(X)}{n\,\delta^2}$. Et voilà le cœur du résultat : ce majorant porte un $n$ au dénominateur, donc il tend vers $0$ ; doubler la taille de l'échantillon divise par deux ce majorant (la garantie qu'on a sur l'erreur), si bien que la probabilité de se tromper de plus de $\delta$ est forcée vers $0$. C'est exactement pourquoi un sondage sur $10\,000$ personnes est bien plus fiable que sur $100$.

Pour la moyenne $M_n$ d'un échantillon :

1. $E(M_n) = \mu = E(X)$.
2. $V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$ (la variance est divisée par $n$).
3. Inégalité de concentration : $P(|M_n - \mu| \ge \delta) \le \dfrac{V(X)}{n\,\delta^2}$.

Soit $X$ avec $E(X) = 10$ et $V(X) = 4$. On forme la moyenne $M_n$ de $n = 100$ tirages indépendants.

$E(M_{100}) = 10$.

$V(M_{100}) = \dfrac{V(X)}{n} = \dfrac{4}{100} = 0{,}04$.

Avec $\delta = 1$ : $P(|M_{100} - 10| \ge 1) \le \dfrac{V(X)}{n\,\delta^2} = \dfrac{4}{100 \times 1} = 0{,}04$.

La moyenne de $100$ tirages s'écarte de plus de $1$ de $10$ avec une probabilité d'au plus $4\,\%$.

Le point essentiel : $V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$ diminue quand $n$ grandit. Plus l'échantillon est grand, plus la moyenne est fiable. L'espérance, elle, ne change pas avec $n$.

Voici toutes les règles de calcul du chapitre, rassemblées :

$\bullet$ Définitions : $E(X)=\sum x_i p_i$, $V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$, $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

$\bullet$ Transformation affine : $E(aX+b)=aE(X)+b$, $V(aX+b)=a^2V(X)$ (la constante $b$ disparaît), $\sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)$.

$\bullet$ Somme : $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ toujours ; $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ seulement si $X,Y$ indépendantes.

$\bullet$ $n$ variables i.i.d. (somme $S_n$) : $E(S_n)=nE(X)$, $V(S_n)=nV(X)$.

$\bullet$ Moyenne $M_n=\dfrac{S_n}{n}$ : $E(M_n)=E(X)$, $V(M_n)=\dfrac{V(X)}{n}$.

Le piège récurrent : l'espérance est linéaire sans condition, mais la variance d'une somme exige l'indépendance et fait intervenir $a^2$, pas $a$.

Avant tout calcul de variance d'une somme : vérifie l'indépendance. Pour une transformation $aX+b$ : multiplie la variance par $a^2$ et ignore $b$.

$E(X)=2$, $V(X)=5$, $Y=3X-4$ :

$E(Y)=3\times 2-4=2$ et $V(Y)=3^2\times 5=45$.

Pour $S=X_1+\dots+X_4$ ($4$ copies indépendantes) : $E(S)=4\times 2=8$ et $V(S)=4\times 5=20$.

Confusion classique : $V(aX+b)=a^2V(X)$, jamais $aV(X)+b$. La constante additive $b$ ne change pas la dispersion.