📐Dérivation : nombre dérivé et tangente

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$, $b$ deux réels distincts de $I$. Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est le quotient :

$\tau = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

C'est la pente (coefficient directeur) de la droite (la sécante) qui passe par les points $A\,(a\,;\,f(a))$ et $B\,(b\,;\,f(b))$ de la courbe. On note souvent $h = b - a$ et on écrit alors le taux d'accroissement entre $a$ et $a+h$ :

$\tau(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}, \qquad h \neq 0.$

Pour calculer un taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ :

1. Calcule $f(a)$ puis $f(b)$.
2. Forme le quotient $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
3. Simplifie. C'est la pente moyenne entre les deux points.

Soit $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$. Taux d'accroissement entre $a = 1$ et $b = 3$ :

$f(3) = 3^2 = 9$ et $f(1) = 1^2 = 1$, donc

$\tau = \dfrac{9 - 1}{3 - 1} = \dfrac{8}{2} = 4.$

La sécante passant par $(1\,;\,1)$ et $(3\,;\,9)$ a pour pente $4$.

Le taux d'accroissement est une pente moyenne. Quand $b$ se rapproche de $a$, cette pente moyenne tend vers une pente instantanée : ce sera le nombre dérivé.

On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel fini quand $h$ tend vers $0$. Ce nombre s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$ :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}.$

Géométriquement, quand $h \to 0$ les sécantes se rapprochent d'une position limite : la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. Le nombre $f'(a)$ est la pente de cette tangente.

Pour calculer $f'(a)$ avec la définition :

1. Écris le taux $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
2. Développe $f(a+h)$ et simplifie le numérateur.
3. Factorise par $h$ et simplifie pour faire disparaître le $h$ au dénominateur.
4. Fais tendre $h$ vers $0$ dans l'expression simplifiée.

Soit $f(x) = x^2$ et $a = 3$.

$\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} = \dfrac{(3+h)^2 - 9}{h} = \dfrac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h.$

Quand $h \to 0$, $6 + h \to 6$. Donc $f'(3) = 6$.

On retrouve bien $(x^2)' = 2x$, qui donne $2 \times 3 = 6$ en $3$.

Ne pas confondre taux d'accroissement (entre deux points, une pente moyenne) et nombre dérivé (en un seul point, la pente instantanée, limite quand $h \to 0$).

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente $T$ à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ au point $A\,(a\,;\,f(a))$ est la droite de coefficient directeur $f'(a)$ passant par $A$. Son équation réduite est :

$y = f'(a)\,(x - a) + f(a).$

C'est la droite qui « épouse » le mieux la courbe au voisinage du point d'abscisse $a$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Cette formule n'est pas tombée du ciel : c'est tout simplement l'équation d'une droite, écrite intelligemment. Une droite de pente $m$ qui passe par le point $A\,(a\,;\,f(a))$ vérifie, pour n'importe quel autre point $(x\,;\,y)$ d'elle-même, $\dfrac{y - f(a)}{x - a} = m$ (la pente, c'est « montée sur avancée »). En multipliant par $x - a$, on obtient $y - f(a) = m\,(x - a)$, soit $y = m\,(x - a) + f(a)$. La seule chose propre à la tangente, c'est que sa pente vaut $m = f'(a)$ : on remplace, et le tour est joué. Tu peux d'ailleurs vérifier que pour $x = a$ on retombe sur $y = f(a)$ — la droite touche bien la courbe au bon endroit.

Pour écrire l'équation de la tangente en $a$ :

1. Calcule $f(a)$ (l'ordonnée du point de contact).
2. Calcule $f'(a)$ (la pente de la tangente).
3. Remplace dans $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
4. Développe si on veut la forme $y = mx + p$.

Soit $f(x) = x^2$ et $a = 3$ ($f'(x) = 2x$).

$f(3) = 9$ et $f'(3) = 2 \times 3 = 6$.

Tangente : $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9.$

La tangente au point $(3\,;\,9)$ a pour équation $y = 6x - 9$.

Vérifie ton résultat : pour $x = a$, l'équation doit redonner $y = f(a)$. Ici $x = 3$ donne $y = 6 \times 3 - 9 = 9 = f(3)$. C'est cohérent.

Le nombre dérivé se lit de plusieurs façons :

• Géométrique : $f'(a)$ est la pente de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
• Cinématique : si $f(t)$ donne la position d'un mobile à l'instant $t$, alors $f'(a)$ est la vitesse instantanée à l'instant $a$.
• Signe : si $f'(a) > 0$, la tangente monte ; si $f'(a) < 0$, elle descend ; si $f'(a) = 0$, elle est horizontale.

Plus généralement, le nombre dérivé mesure une vitesse de variation instantanée de $f$ en $a$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $f'(a)$ donne-t-il une vitesse instantanée ? Imagine une voiture dont $f(t)$ est la distance parcourue à l'instant $t$. Entre $t = a$ et $t = a+h$, elle avance de $f(a+h) - f(a)$ mètres en $h$ secondes : sa vitesse moyenne sur ce trajet vaut exactement $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ — c'est le taux d'accroissement ! Maintenant rapproche $h$ de $0$ : tu chronomètres la vitesse moyenne sur une durée de plus en plus courte, comme un radar qui mesure sur un intervalle minuscule. À la limite, cette vitesse moyenne devient la vitesse à l'instant précis $a$, c'est-à-dire ce qu'affiche le compteur : $f'(a)$.

Pour interpréter $f'(a)$ dans un problème :

1. Repère ce que représente $f$ (position, coût, aire...).
2. $f'(a)$ représente la variation instantanée de cette grandeur au point $a$.
3. Le signe de $f'(a)$ indique si la grandeur augmente ou diminue.

Un objet a pour position $f(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en secondes). $f'(t) = 2t$, donc à $t = 3$ s la vitesse instantanée vaut $f'(3) = 2 \times 3 = 6$ m/s.

Une tangente horizontale ($f'(a) = 0$) signale souvent un extremum (maximum ou minimum) : on s'en servira pour étudier les variations.

Sur un graphique où la tangente $T$ en $A$ est tracée, on lit $f'(a)$ comme le coefficient directeur de cette tangente : on choisit deux points de $T$ et on calcule

$f'(a) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}.$

Une tangente horizontale donne $f'(a) = 0$. Une tangente qui « monte » d'une unité verticale pour une unité horizontale donne $f'(a) = 1$.

Pour lire $f'(a)$ sur un graphe :

1. Repère le point de contact $A\,(a\,;\,f(a))$.
2. Choisis un second point de la tangente, aux coordonnées lisibles.
3. Calcule la pente $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ entre ces deux points.

La tangente en $A$ passe par $A\,(2\,;\,1)$ et par $B\,(4\,;\,5)$. Sa pente vaut $\dfrac{5 - 1}{4 - 2} = \dfrac{4}{2} = 2$. Donc $f'(2) = 2$.

Choisis deux points de la tangente dont les coordonnées sont des entiers : la lecture de $\Delta x$ et $\Delta y$ est alors exacte, sans erreur d'arrondi.