🧮Polynômes et factorisation

Un polynôme (à une variable) est une expression de la forme

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,$

où les $a_k$ sont les coefficients.

Le degré du polynôme est le plus grand exposant de $x$ dont le coefficient est non nul.

Exemples : $2x^3 - 5x + 1$ est de degré $3$ ; $7x^2 - x$ est de degré $2$ ; une constante non nulle est de degré $0$.

1. Range le polynôme par puissances décroissantes de $x$.
2. Repère le terme de plus haut degré à coefficient non nul.
3. L'exposant de ce terme est le degré.

Soit $P(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7$.

Le terme de plus haut degré est $4x^3$ : le degré de $P$ est $3$.

Ses coefficients sont $4$ (pour $x^3$), $-2$ (pour $x^2$), $0$ (pour $x$, absent) et $7$ (terme constant).

Un terme absent a un coefficient nul, pas « pas de coefficient » : dans $4x^3 - 2x^2 + 7$, le coefficient de $x$ est $0$.

Un nombre $a$ est une racine du polynôme $P$ si $P(a) = 0$.

Autrement dit, les racines sont les solutions de l'équation $P(x) = 0$ ; graphiquement, ce sont les abscisses des points où la courbe de $P$ coupe l'axe des abscisses.

Propriété fondamentale : $a$ est une racine de $P$ si et seulement si $P(x)$ peut s'écrire $P(x) = (x - a) \times Q(x)$, où $Q$ est un polynôme de degré inférieur d'une unité.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Regarde la différence $P(x) - P(a)$ : terme par terme, elle est faite de morceaux du type $a_k x^k - a_k a^k = a_k\,(x^k - a^k)$. Or chaque $x^k - a^k$ se factorise toujours par $(x-a)$, exactement comme pour une somme géométrique : $x^k - a^k = (x-a)(x^{k-1} + x^{k-2}a + \dots + a^{k-1})$. Donc $P(x) - P(a)$ tout entier se met en facteur par $(x-a)$. Et si $a$ est une racine, $P(a) = 0$, si bien que $P(x)$ lui-même s'écrit $(x-a)\,Q(x)$ : la racine fabrique mécaniquement le facteur.

Pour vérifier que $a$ est une racine de $P$ :

1. Calcule $P(a)$ en remplaçant $x$ par $a$.
2. Si $P(a) = 0$, alors $a$ est une racine.
3. Si $P(a) \neq 0$, alors $a$ n'est pas une racine.

Soit $P(x) = x^2 - 5x + 6$. Vérifions que $2$ est une racine.

$P(2) = 2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$.

Comme $P(2) = 0$, le nombre $2$ est bien une racine de $P$. Donc $P(x)$ est divisible par $(x - 2)$.

Racine $\Leftrightarrow$ $P(a) = 0$ $\Leftrightarrow$ le facteur $(x - a)$ apparaît dans la factorisation. Attention au signe : pour une racine $a = 2$, le facteur est $(x - 2)$.

Si $a$ est une racine de $P$ (de degré $n$), alors

$P(x) = (x - a) \times Q(x),$

où $Q$ est un polynôme de degré $n - 1$. On dit que l'on a factorisé $P$ par $(x - a)$.

Pour trouver $Q$, on peut identifier les coefficients : on écrit $Q$ avec des coefficients inconnus, on développe $(x - a)Q(x)$, puis on identifie terme à terme avec $P(x)$.

1. Vérifie que $a$ est une racine ($P(a) = 0$).
2. Écris $P(x) = (x - a)(bx + c)$ (pour un degré 2) avec $b, c$ inconnus.
3. Développe et identifie les coefficients pour trouver $b$ et $c$.
4. Conclus avec la forme factorisée.

Factorisons $P(x) = x^2 - 5x + 6$ sachant que $2$ est racine.

On écrit $P(x) = (x - 2)(x + c)$ (le coefficient de $x^2$ vaut $1$, donc $b = 1$).

Développement : $(x - 2)(x + c) = x^2 + cx - 2x - 2c = x^2 + (c - 2)x - 2c$.

Identification du terme constant : $-2c = 6$ donne $c = -3$.

Donc $P(x) = (x - 2)(x - 3)$. (Contrôle du terme en $x$ : $c - 2 = -3 - 2 = -5$, conforme.)

Le contrôle le plus rapide : développe ta factorisation et vérifie que tu retrouves $P(x)$ à l'identique.

Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.

Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.

On peut l'écrire sous trois formes équivalentes, chacune utile :

$\bullet$ développée : $ax^2 + bx + c$ (lit le terme constant) ;

$\bullet$ canonique : $a(x - \alpha)^2 + \beta$ (donne le sommet) ;

$\bullet$ factorisée : $a(x - x_1)(x - x_2)$ (donne les racines, quand elles existent).

1. Identifie ce que tu cherches : sommet, racines, ou valeur en un point.
2. Choisis la forme adaptée (canonique pour le sommet, factorisée pour les racines).
3. Lis directement l'information dans la forme choisie.

Soit $f(x) = x^2 - 5x + 6$.

Forme factorisée : $f(x) = (x - 2)(x - 3)$, d'où les racines $2$ et $3$.

Forme canonique : $\alpha = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$, $\beta = f(2{,}5) = 6{,}25 - 12{,}5 + 6 = -0{,}25$, donc $f(x) = (x - 2{,}5)^2 - 0{,}25$ : sommet $(2{,}5\,;\,-0{,}25)$.

Une seule fonction, trois écritures : on choisit la forme selon l'information voulue. Sommet $\to$ canonique, racines $\to$ factorisée.

Développer, c'est transformer un produit en une somme (supprimer les parenthèses).

On utilise la distributivité : $k(a + b) = ka + kb$ et $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.

Les identités remarquables accélèrent les calculs :

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,$ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2.$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dessine un carré de côté $a+b$ : son aire est $(a+b)^2$. Maintenant coupe-le par un trait horizontal et un trait vertical placés à la distance $a$ d'un coin : tu obtiens quatre pièces, un carré $a \times a$ d'aire $a^2$, un carré $b \times b$ d'aire $b^2$, et deux rectangles $a \times b$ d'aire $ab$ chacun. En additionnant les aires : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Le fameux double produit $2ab$, ce sont juste les deux rectangles : c'est pour cela qu'on ne peut pas l'oublier en passant du carré d'une somme à la somme des carrés.

1. Repère la structure : carré, double produit ou produit de deux sommes.
2. Applique l'identité remarquable si elle convient.
3. Sinon, distribue chaque terme, puis réduis les termes semblables.

Développons $(x + 3)^2$ avec l'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

Et $(x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$ (différence de deux carrés).

N'oublie jamais le double produit : $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, pas $x^2 + 9$. Le terme $2ab$ est l'erreur la plus fréquente.

Factoriser, c'est transformer une somme en un produit (faire apparaître des parenthèses). C'est l'opération inverse du développement.

Trois techniques au programme :

$\bullet$ facteur commun : $ka + kb = k(a + b)$ ;

$\bullet$ identités remarquables (lues de droite à gauche), par exemple $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ ;

$\bullet$ via une racine : si $a$ est racine, on factorise par $(x - a)$.

Factoriser est indispensable pour résoudre une équation produit : $A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0$ ou $B = 0$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi « $A \times B = 0$ » force-t-il $A = 0$ ou $B = 0$ ? Supposons que $A$ ne soit pas nul : alors on a le droit de diviser par $A$, et $\dfrac{A \times B}{A} = \dfrac{0}{A}$ donne $B = 0$. Autrement dit, dès qu'un des deux facteurs refuse d'être nul, l'autre est obligé de l'être : deux nombres non nuls ont toujours un produit non nul. C'est précisément cette propriété qui transforme une équation factorisée en une simple liste de cas.

1. Cherche d'abord un facteur commun à tous les termes.
2. Sinon, reconnais une identité remarquable ($a^2 - b^2$, carré parfait).
3. Sinon, cherche une racine évidente et factorise par $(x - a)$.
4. Pour résoudre $P(x) = 0$, utilise la règle du produit nul.

Résolvons $x^2 - 9 = 0$.

$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$ (différence de carrés).

L'équation $(x - 3)(x + 3) = 0$ donne $x = 3$ ou $x = -3$ (règle du produit nul).

« Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. » C'est la clé pour résoudre toute équation une fois factorisée.