📈Dérivées et étude de fonctions

Si $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$, la fonction qui à chaque $x$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$, notée $f'$.

Dérivées des fonctions de référence :

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? D'où sort le surprenant $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ? Reprends la définition avec le taux $\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$ et multiplie en haut et en bas par la « quantité conjuguée » $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$. En haut, $(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}) = (x+h)-x = h$, qui se simplifie pile avec le $h$ du dénominateur : il reste $\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$. Quand $h \to 0$, le bas devient $\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}$, d'où $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ : ce n'est pas une formule tombée du ciel, le « $2$ » vient du dédoublement de $\sqrt{x}$.

Pour dériver une fonction de référence :

1. Reconnais sa forme ($x^n$, $1/x$, $\sqrt{x}$...).
2. Applique la formule du tableau.
3. Précise éventuellement l'intervalle de validité (ex. $x \neq 0$ pour $1/x$, $x > 0$ pour $\sqrt{x}$).

Pour $f(x) = x^3$, on a $n = 3$, donc $f'(x) = 3\,x^{3-1} = 3x^2$.

Pour $g(x) = \sqrt{x}$, $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. En $x = 4$ : $g'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2 \times 2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

Retiens la règle de la puissance : « l'exposant descend devant, puis on enlève $1$ à l'exposant ». $(x^n)' = n\,x^{n-1}$.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et $k$ un réel :

Les formules du quotient supposent $v(x) \neq 0$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? La formule $(uv)' = u'v + uv'$ se voit avec un rectangle de largeur $u$ et de hauteur $v$, dont l'aire vaut $uv$. Augmente un peu chaque côté : la largeur de $\Delta u$, la hauteur de $\Delta v$. L'aire gagne alors trois morceaux : une bande horizontale d'aire $v\,\Delta u$, une bande verticale d'aire $u\,\Delta v$, et un petit carré de coin d'aire $\Delta u\,\Delta v$. Ce dernier est négligeable devant les deux autres car c'est un produit de DEUX petites quantités (deux fois plus « petit »). La variation d'aire vaut donc $\Delta(uv) \approx v\,\Delta u + u\,\Delta v$ ; en divisant par la petite variation et en passant à la limite, on obtient $(uv)' = u'v + uv'$. On comprend du même coup pourquoi ce n'est PAS $u'v'$ : cela oublierait les deux grandes bandes.

Pour dériver une combinaison :

1. Identifie l'opération (somme, produit, quotient).
2. Pose $u$, $v$ puis calcule $u'$ et $v'$ séparément.
3. Applique la formule correspondante.
4. Développe et simplifie.

Soit $f(x) = (2x + 1)(x^2)$. Avec $u = 2x + 1$ ($u' = 2$) et $v = x^2$ ($v' = 2x$) :

$f'(x) = u'v + u v' = 2 \times x^2 + (2x + 1) \times 2x = 2x^2 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x.$

Vérification en développant d'abord : $f(x) = 2x^3 + x^2$, donc $f'(x) = 6x^2 + 2x$. Cohérent.

Le produit n'est PAS $u'v'$. La bonne formule est $(uv)' = u'v + uv'$ : « dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second ».

Théorème fondamental. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ :

• si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ ;
• si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ ;
• si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Pour étudier les variations, on détermine donc le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle.

Pour dresser le tableau de variations :

1. Calcule $f'(x)$.
2. Résous $f'(x) = 0$ et étudie le signe de $f'(x)$.
3. Reporte ce signe dans un tableau.
4. Déduis les flèches : $\nearrow$ quand $f' > 0$, $\searrow$ quand $f' < 0$.

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$ sur $\mathbb{R}$.

$f'(x) = 2x - 4$. On résout $f'(x) = 0$ : $2x - 4 = 0$, donc $x = 2$.

Pour $x < 2$, $f'(x) < 0$ : $f$ décroît. Pour $x > 2$, $f'(x) > 0$ : $f$ croît. Minimum atteint en $x = 2$, $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$.

C'est bien le signe de $f'$, pas sa valeur, qui détermine les variations. Une dérivée toujours positive (même petite) donne une fonction croissante.

Soit $f$ dérivable sur $I$ et $x_0$ un point intérieur à $I$. Si $f$ admet un extremum local (maximum ou minimum) en $x_0$, alors $f'(x_0) = 0$.

Attention, la réciproque est fausse : $f'(x_0) = 0$ ne garantit pas un extremum. C'est le changement de signe de $f'$ en $x_0$ qui caractérise un extremum :

• $f'$ passe de $-$ à $+$ en $x_0$ : minimum local ;
• $f'$ passe de $+$ à $-$ en $x_0$ : maximum local.

Pour trouver les extrema :

1. Résous $f'(x) = 0$ : ce sont les candidats.
2. Étudie le signe de $f'$ autour de chaque candidat.
3. Si $f'$ change de signe : extremum (sens donné par le changement). Sinon : pas d'extremum.
4. Calcule $f(x_0)$ pour la valeur de l'extremum.

Pour $f(x) = x^2 - 4x + 1$, $f'(x) = 2x - 4$ s'annule en $x = 2$. $f'$ passe de $-$ à $+$ : c'est un minimum.

Valeur du minimum : $f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$. Le minimum de $f$ est $-3$, atteint en $x = 2$.

Un point où $f'$ s'annule SANS changer de signe (ex. $f(x) = x^3$ en $0$) n'est pas un extremum : la tangente est horizontale mais la fonction continue de croître.

Optimiser, c'est chercher la valeur d'une variable qui rend une grandeur maximale ou minimale (aire, volume, coût, bénéfice...). On modélise la grandeur par une fonction, puis on cherche son extremum à l'aide de la dérivée.

La démarche transforme un problème concret en une étude de fonction : c'est la grande utilité de la dérivation.

Pour résoudre un problème d'optimisation :

1. Choisis la variable et précise son intervalle de définition (contraintes du problème).
2. Exprime la grandeur à optimiser comme une fonction $f$ de cette variable.
3. Calcule $f'$, étudie son signe, dresse le tableau de variations.
4. Lis l'extremum cherché et reviens au contexte du problème.

On dispose de $40$ m de clôture pour un enclos rectangulaire. Si un côté mesure $x$, l'autre mesure $20 - x$ (demi-périmètre). L'aire est $A(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$, pour $0 < x < 20$.

$A'(x) = 20 - 2x$, qui s'annule en $x = 10$. $A'$ passe de $+$ à $-$ : maximum en $x = 10$. L'enclos est un carré de côté $10$ m, d'aire $A(10) = 10 \times 10 = 100$ m$^2$.

N'oublie jamais l'intervalle de la variable : une longueur est positive, une proportion est entre $0$ et $1$, etc. L'extremum doit appartenir à cet intervalle.