⚡Fonction exponentielle

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :

$f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1.$

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle, notée $\exp$. On la note aussi $e^x$ :

$\exp(x) = e^x.$

Ainsi $\exp(0) = e^0 = 1$, et l'exponentielle est égale à sa propre dérivée : $(e^x)' = e^x$.

Pour exploiter la définition :

1. Retiens les deux conditions : $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$.
2. Pour dériver $e^x$, n'écris rien de plus : $(e^x)' = e^x$.
3. La valeur de référence est $e^0 = 1$.

Soit $f(x) = e^x$. Le coefficient directeur de la tangente en $0$ vaut $f'(0) = e^0 = 1$, et le point de contact est $(0\,;\,1)$ car $f(0) = e^0 = 1$. La tangente en $0$ a donc pour équation $y = x + 1$.

La propriété $(e^x)' = e^x$ est unique en son genre : l'exponentielle est la seule fonction (à un coefficient près) égale à sa dérivée. C'est ce qui la rend si importante.

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ :

Ces règles sont celles des puissances : l'exponentielle transforme les sommes en produits.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Fixons un réel $b$ et regardons la fonction $h(x) = e^{x+b} - e^x\,e^b$. Comme l'exponentielle est égale à sa dérivée, $h'(x) = e^{x+b} - e^x\,e^b = h(x)$ : cette fonction est, elle aussi, égale à sa propre dérivée. Or en $0$ elle vaut $h(0) = e^b - 1\times e^b = 0$. La seule fonction égale à sa dérivée qui démarre à $0$ est la fonction nulle (c'est l'unicité de la définition), donc $h(x) = 0$ partout : on obtient bien $e^{x+b} = e^x\,e^b$. La règle $e^{a+b} = e^a\times e^b$ n'est donc pas un caprice de notation, elle découle directement de $\exp' = \exp$ !

Pour simplifier une expression avec des exponentielles :

1. Regroupe les exposants : un produit devient une somme d'exposants.
2. Une division devient une différence d'exposants.
3. Termine en réduisant l'exposant.

$e^3 \times e^5 = e^{3+5} = e^8$.

$\dfrac{e^7}{e^2} = e^{7-2} = e^5$.

$(e^2)^3 = e^{2 \times 3} = e^6$.

$e^x \times e^{-x} = e^{x + (-x)} = e^0 = 1$.

$e^{a+b} = e^a \times e^b$, et SURTOUT PAS $e^a + e^b$. L'exponentielle d'une somme est un produit, jamais une somme.

Pour tout réel $x$ : $e^x > 0$. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc sa courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.

Comme $(e^x)' = e^x > 0$, la dérivée est toujours strictement positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Valeurs de référence : $e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2{,}718$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Coupons l'exposant en deux : $e^x = e^{\frac{x}{2} + \frac{x}{2}} = \left(e^{x/2}\right)^2$. Un carré n'est jamais négatif, donc $e^x \geq 0$ pour tout $x$. Reste à exclure la valeur $0$ : comme $e^x \times e^{-x} = e^{x-x} = e^0 = 1$, le produit n'est pas nul, donc aucun des deux facteurs n'est nul. Conclusion : $e^x$ est toujours strictement positif, et c'est pour cela que la courbe ne touche jamais l'axe des abscisses.

Pour utiliser le signe et la croissance :

1. $e^x$ n'est jamais nul ni négatif : $e^x > 0$ partout.
2. Comme $\exp$ est strictement croissante, $e^a < e^b \Leftrightarrow a < b$ : on peut « comparer les exposants ».
3. Cette propriété sert à résoudre équations et inéquations.

L'équation $e^x = 0$ n'a aucune solution, car $e^x > 0$ pour tout $x$.

Comme $\exp$ est croissante : $e^x > 1 = e^0 \Leftrightarrow x > 0$.

Garde en tête : $e^x > 0$ TOUJOURS. Cela permet souvent de diviser une inéquation par $e^x$ sans changer le sens, ou d'écarter $e^x = 0$ comme solution.

L'exponentielle étant strictement croissante (donc bijective), pour tous réels $a$ et $b$ :

$e^a = e^b \Leftrightarrow a = b, \qquad e^a < e^b \Leftrightarrow a < b.$

On résout donc une équation $e^{u(x)} = e^{v(x)}$ en résolvant $u(x) = v(x)$, et une inéquation en comparant les exposants (le sens est conservé car $\exp$ est croissante).

Pour résoudre une équation/inéquation exponentielle :

1. Ramène-toi à la forme $e^{A} = e^{B}$ (ou $<$, $>$).
2. Remplace par $A = B$ (ou la même inégalité entre exposants).
3. Résous l'équation/inéquation obtenue sur les exposants.
4. Conclus.

Résolvons $e^{2x} = e^{x+3}$.

Par identification des exposants : $2x = x + 3$, donc $x = 3$.

Vérification : $e^{2 \times 3} = e^6$ et $e^{3+3} = e^6$. La solution est $x = 3$.

Pour une inéquation, le sens se conserve car $\exp$ est croissante : $e^{2x} < e^{x+3} \Leftrightarrow 2x < x + 3 \Leftrightarrow x < 3$.

Le nombre $e$ est l'image de $1$ par la fonction exponentielle :

$e = e^1 = \exp(1) \approx 2{,}718.$

C'est un nombre irrationnel (son écriture décimale est infinie et non périodique). On a donc $e^0 = 1$, $e^1 = e \approx 2{,}718$, $e^2 \approx 7{,}389$.

La notation $e^x$ pour $\exp(x)$ vient de là : $\exp(x)$ se comporte exactement comme la puissance $x$-ième du nombre $e$.

Pour situer une valeur $e^x$ :

1. $e^0 = 1$ (valeur pivot).
2. Si $x > 0$, alors $e^x > 1$ ; si $x < 0$, alors $0 < e^x < 1$.
3. Pour une valeur approchée, utilise $e \approx 2{,}718$.

$e^0 = 1$ exactement.

$e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx \dfrac{1}{2{,}718} \approx 0{,}368$ : c'est bien un nombre compris entre $0$ et $1$, car $-1 < 0$.

$e$ n'est pas $2{,}718$ exactement : c'est une valeur approchée. La seule valeur exacte simple à connaître par cœur est $e^0 = 1$.