🔍Étude complète d'une fonction

L'ensemble de définition $D_f$ d'une fonction $f$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe (le calcul est possible). Les interdits classiques :

• pas de division par zéro : on exclut les $x$ qui annulent un dénominateur ;
• pas de racine carrée d'un nombre négatif : sous une racine, l'expression doit être $\geqslant 0$.

Un polynôme, lui, est défini sur $\mathbb{R}$ tout entier.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Interdire la racine d'un nombre négatif n'est pas un caprice : $\sqrt{a}$ désigne le nombre (positif) dont le carré vaut $a$. Or un carré est toujours positif ou nul ! En effet $(+)\times(+) = +$ et $(-)\times(-) = +$, donc pour tout réel $x$ on a $x^2 \geqslant 0$. Aucun réel ne peut donc avoir un carré négatif : c'est pour cela qu'on exige le radicande $\geqslant 0$, sinon le calcul n'a tout simplement aucune réponse parmi les nombres connus en 1re.

Pour déterminer $D_f$ :

1. Repère les dénominateurs : pose dénominateur $\neq 0$.
2. Repère les racines carrées : pose le radicande $\geqslant 0$.
3. Résous ces conditions et combine-les.
4. Écris $D_f$ sous forme d'intervalle(s).

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$. Il faut $x - 3 \neq 0$, c'est-à-dire $x \neq 3$.

Donc $D_f = ]-\infty\,;\,3[\,\cup\,]3\,;\,+\infty[$ (tous les réels sauf $3$).

Commence TOUJOURS une étude de fonction par l'ensemble de définition : inutile de dériver ou tracer là où la fonction n'existe pas.

Deuxième étape de l'étude : on calcule $f'(x)$ avec les formules de dérivation, puis on étudie son signe sur $D_f$.

Le signe de $f'$ donne les variations de $f$ (théorème du chapitre « Dérivées ») :

$f' > 0 \Rightarrow f \nearrow, \qquad f' < 0 \Rightarrow f \searrow.$

Pour un trinôme $f'(x) = ax^2 + bx + c$, on étudie son signe avec le discriminant ou la factorisation.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Souviens-toi que $f'(a)$ est la pente de la tangente en $a$. Si sur tout un intervalle cette pente est positive ($f' > 0$), alors en chaque point la tangente « monte » : la courbe penche partout vers le haut, donc elle ne peut que grimper de gauche à droite, c'est-à-dire que $f$ croît. Visualise un randonneur dont la planche sous les pieds est toujours inclinée vers le haut : à chaque pas il prend de l'altitude, impossible de redescendre. C'est exactement pour cela que le signe de $f'$ (et pas sa valeur) suffit à lire le sens de variation.

Pour étudier le signe de $f'$ :

1. Calcule $f'(x)$.
2. Résous l'équation $f'(x) = 0$.
3. Détermine le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle (factorisation, règle du signe d'un trinôme...).
4. Note ce signe dans la ligne « signe de $f'$ ».

Soit $f(x) = x^2 - 6x + 5$ sur $\mathbb{R}$.

$f'(x) = 2x - 6$. On résout $2x - 6 = 0$ : $x = 3$.

Pour $x < 3$ : $f'(x) < 0$. Pour $x > 3$ : $f'(x) > 0$.

Pour un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ sans racine (discriminant $< 0$), le signe est constant, celui de $a$. Cela évite des erreurs dans le tableau de signes.

Le tableau de variations résume l'étude. On y porte :

• la première ligne : la variable $x$ avec les bornes de $D_f$ et les valeurs où $f'$ s'annule ;
• la deuxième ligne : le signe de $f'(x)$ ;
• la troisième ligne : les variations de $f$ ($\nearrow$ ou $\searrow$) avec les valeurs de $f$ aux points clés.

Les flèches montantes correspondent à $f' > 0$, les descendantes à $f' < 0$.

Pour construire le tableau :

1. Place les bornes et les valeurs annulant $f'$ sur la ligne $x$.
2. Reporte le signe de $f'$ entre ces valeurs.
3. Trace les flèches de variation cohérentes avec ce signe.
4. Calcule et inscris les images aux extrema.

Pour $f(x) = x^2 - 6x + 5$, on a $f'(x) = 2x - 6$, qui s'annule en $x = 3$ : négatif avant, positif après. Minimum en $x = 3$ : $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$.

Le tableau montre une « vallée » de fond $-4$ en $x = 3$.

La cohérence est essentielle : une flèche montante DOIT correspondre à un $+$ dans la ligne de $f'$. Relis ton tableau pour vérifier cette correspondance.

Les extremums se lisent sur le tableau de variations : un changement $\searrow \nearrow$ donne un minimum, un changement $\nearrow \searrow$ donne un maximum.

Pour résoudre $f(x) = k$ :

• graphiquement : on cherche les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale $y = k$ ;
• algébriquement : on résout l'équation $f(x) = k$ (par factorisation, second degré, etc.).

Pour résoudre $f(x) = k$ algébriquement :

1. Ramène l'équation à $f(x) - k = 0$.
2. Développe/factorise pour obtenir un produit nul ou un trinôme.
3. Résous (produit nul, discriminant...).
4. Vérifie que les solutions appartiennent à $D_f$.

Résolvons $f(x) = 5$ pour $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

$x^2 - 6x + 5 = 5 \Leftrightarrow x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x(x - 6) = 0$.

Donc $x = 0$ ou $x = 6$. Deux solutions : $0$ et $6$.

Le tableau de variations renseigne sur le nombre de solutions de $f(x) = k$ : selon la position de $k$ par rapport aux extremums, l'horizontale $y = k$ coupe la courbe $0$, $1$ ou $2$ fois.

Une étude de fonction sert à répondre à une question concrète : trouver le coût minimal, le bénéfice maximal, la meilleure dimension... La fonction modélise la grandeur, son étude donne la réponse.

On suit alors la même méthode : domaine (souvent restreint par le contexte), dérivée, tableau de variations, lecture de l'extremum, puis interprétation dans le problème.

Pour traiter un problème concret :

1. Identifie la grandeur à optimiser et la variable, avec son intervalle réaliste.
2. Mène l'étude de fonction (dérivée, signe, variations).
3. Lis l'extremum sur le tableau.
4. Réponds à la question posée en repassant aux unités du problème.

Le bénéfice (en milliers d'euros) pour $x$ centaines d'objets vendus est $B(x) = -x^2 + 6x - 5$ sur $[0\,;\,6]$.

$B'(x) = -2x + 6$, qui s'annule en $x = 3$. $B'$ passe de $+$ à $-$ : maximum en $x = 3$.

$B(3) = -9 + 18 - 5 = 4$. Le bénéfice maximal est de $4$ milliers d'euros, atteint pour $300$ objets vendus.

N'oublie pas la phrase de conclusion avec les unités : « le bénéfice maximal vaut $4\,000$ € pour $300$ objets ». C'est elle qui répond vraiment à l'énoncé.