🔺Fonctions trigonométriques

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Le radian est l'unité d'angle telle qu'un angle de $1$ radian intercepte un arc de longueur $1$ sur ce cercle. La conversion repère est :

$180° = \pi \text{ rad}.$

On en déduit : $90° = \dfrac{\pi}{2}$, $60° = \dfrac{\pi}{3}$, $45° = \dfrac{\pi}{4}$, $30° = \dfrac{\pi}{6}$, et un tour complet $360° = 2\pi$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Le radian se lit directement comme une longueur d'arc sur le cercle de rayon $1$. Or la circonférence complète de ce cercle vaut $2\pi \times 1 = 2\pi$ : un tour entier ($360°$) correspond donc à un arc de longueur $2\pi$, c'est-à-dire $2\pi$ radians. Un demi-tour, c'est la moitié : $180°$ correspond à un arc de longueur $\pi$, soit $\pi$ radians. Voilà pourquoi $180° = \pi$ rad : ce n'est pas une convention sortie de nulle part, c'est juste la demi-circonférence d'un cercle de rayon $1$.

Pour convertir des degrés en radians :

1. Multiplie la mesure en degrés par $\dfrac{\pi}{180}$.
2. Simplifie la fraction.

Pour passer des radians aux degrés, multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$.

Convertissons $60°$ en radians :

$60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{60\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$.

Inversement, $\dfrac{\pi}{4}$ rad $= \dfrac{\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{180}{4} = 45°$.

Retiens le pivot $180° = \pi$. Toutes les autres conversions s'en déduisent par proportionnalité.

À tout réel $x$ on associe un unique point $M$ du cercle trigonométrique, repéré par l'angle de mesure $x$ radians. Par définition :

$\cos x = \text{abscisse de } M, \qquad \sin x = \text{ordonnée de } M.$

Comme $M$ est sur le cercle de rayon $1$, ses coordonnées sont comprises entre $-1$ et $1$. Donc pour tout réel $x$ :

$-1 \leqslant \cos x \leqslant 1, \qquad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1.$

Pour lire $\cos x$ et $\sin x$ sur le cercle :

1. Place le point $M$ associé à l'angle $x$.
2. $\cos x$ se lit sur l'axe horizontal (abscisse de $M$).
3. $\sin x$ se lit sur l'axe vertical (ordonnée de $M$).

Pour $x = 0$, le point $M$ est en $(1\,;\,0)$ : $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$.

Pour $x = \dfrac{\pi}{2}$, $M$ est en $(0\,;\,1)$ : $\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$ et $\sin \dfrac{\pi}{2} = 1$.

Cosinus = abscisse (horizontal), Sinus = ordonnée (vertical, comme le « S » qui monte). Mémorise bien cet ordre pour ne pas les inverser.

Le tableau des valeurs à connaître par cœur :

On remarque que $\cos$ décroît de $1$ à $0$ pendant que $\sin$ croît de $0$ à $1$ sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prenons $x = \dfrac{\pi}{4}$ (soit $45°$) : le point $M$ est pile sur la bissectrice, à mi-chemin entre l'horizontale et la verticale, donc son abscisse et son ordonnée sont égales : $\cos \dfrac{\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{4}$. En reportant cette égalité dans l'identité $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, on obtient $2\cos^2 \dfrac{\pi}{4} = 1$, donc $\cos^2 \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $\cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (positif car $M$ est à droite). La valeur $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ n'est donc pas magique : elle tombe de la symétrie du carré.

Pour retenir le tableau :

1. Pour $\sin$, écris sous chaque angle $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, prends la racine carrée, divise par $2$ : $\dfrac{\sqrt 0}{2}, \dfrac{\sqrt 1}{2}, \dfrac{\sqrt 2}{2}, \dfrac{\sqrt 3}{2}, \dfrac{\sqrt 4}{2}$.
2. Pour $\cos$, c'est la même liste à l'envers.
3. Simplifie : $\dfrac{\sqrt 0}{2} = 0$, $\dfrac{\sqrt 1}{2} = \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{\sqrt 4}{2} = 1$.

$\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

$\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

$\cos \dfrac{\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$.

Astuce mémoire pour $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{6}$ : $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ (les deux « petits angles » donnent le « petit » $\dfrac{1}{2}$ chacun pour une fonction).

Pour tout réel $x$ :

• $\cos$ est paire : $\cos(-x) = \cos x$ ;
• $\sin$ est impaire : $\sin(-x) = -\sin x$.

De plus, $\cos$ et $\sin$ sont périodiques de période $2\pi$ : pour tout réel $x$,

$\cos(x + 2\pi) = \cos x, \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x.$

Ajouter (ou retrancher) un tour complet $2\pi$ ne change donc ni le cosinus ni le sinus.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Sur le cercle, l'angle $-x$ correspond au point $M'$, symétrique de $M$ par rapport à l'axe horizontal. Cette symétrie ne change pas la position horizontale : l'abscisse reste la même, d'où $\cos(-x) = \cos x$ ($\cos$ est paire). En revanche elle inverse la position verticale : l'ordonnée devient son opposée, d'où $\sin(-x) = -\sin x$ ($\sin$ est impaire). Quant à la période $2\pi$, c'est encore plus simple : ajouter $2\pi$, c'est faire un tour complet et revenir exactement au même point $M$, donc aux mêmes coordonnées.

Pour calculer un cosinus/sinus avec un grand angle :

1. Retranche autant de fois $2\pi$ que nécessaire pour te ramener dans $[0\,;\,2\pi[$ (périodicité).
2. Utilise la parité pour traiter un angle négatif.
3. Conclus avec les valeurs remarquables.

$\cos(-\dfrac{\pi}{3}) = \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ (parité de $\cos$).

$\sin(-\dfrac{\pi}{6}) = -\sin \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$ (imparité de $\sin$).

$\cos(2\pi) = \cos(0) = 1$ (périodicité).

Moyen mnémotechnique : cos est pair (les deux mots ne changent pas de signe), sin est impair (il prend un signe $-$ avec $-x$).

Pour tout réel $x$, on a l'identité trigonométrique fondamentale :

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1.$

où $\cos^2 x$ signifie $(\cos x)^2$. Cette relation vient du théorème de Pythagore appliqué au point $M$ du cercle de rayon $1$ (coordonnées $(\cos x\,;\,\sin x)$).

Elle permet, connaissant $\cos x$, de retrouver $\sin x$ (au signe près) et réciproquement.

Pour trouver $\sin x$ connaissant $\cos x$ :

1. Écris $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
2. Prends la racine carrée : $\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$.
3. Choisis le signe grâce à la position de $M$ sur le cercle (au-dessus de l'axe : $\sin x > 0$ ; en dessous : $\sin x < 0$).

Vérifions l'identité pour $x = \dfrac{\pi}{3}$ : $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, $\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\cos^2 + \sin^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{4} = 1.$ L'identité est vérifiée.

Attention à la notation : $\cos^2 x = (\cos x)^2$, et non $\cos(x^2)$ ni $\cos(\cos x)$. C'est le résultat de $\cos x$ que l'on élève au carré.