➡️Produit scalaire

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls, et $\theta$ l'angle géométrique qu'ils forment lorsqu'on les place à partir d'un même point. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel :

$\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta$

Par convention, si l'un des vecteurs est nul, $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.

Le résultat est un scalaire, jamais un vecteur. Son signe dépend de $\cos\theta$ :

• $\theta$ aigu ($0\le\theta<90°$) : $\cos\theta>0$, donc $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$ ;
• $\theta=90°$ : $\cos\theta=0$, donc $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ ;
• $\theta$ obtus ($90°<\theta\le 180°$) : $\cos\theta<0$, donc $\vec{u}\cdot\vec{v}<0$.

Pour calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ avec cette formule :

1. Repère les longueurs $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.
2. Repère l'angle $\theta$ entre les deux vecteurs.
3. Applique $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$.

$\|\vec{u}\|=2$, $\|\vec{v}\|=3$ et $\theta=60°$.

$\cos 60°=\dfrac{1}{2}$, donc $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times 3\times\dfrac{1}{2}=3.$

⚠️ Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur : on n'écrit jamais de flèche sur $\vec{u}\cdot\vec{v}$.

Dans un repère orthonormé, soit $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$. Le produit scalaire se calcule très simplement :

$\vec{u}\cdot\vec{v} = x\,x' + y\,y'$

On multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, puis on ajoute. Cette formule est valable uniquement dans un repère orthonormé, et c'est de loin la plus pratique en exercice.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Cette jolie formule cache la géométrie. Dans un repère orthonormé, décompose chaque vecteur sur les axes : $\vec{u}=x\,\vec{i}+y\,\vec{j}$ et $\vec{v}=x'\,\vec{i}+y'\,\vec{j}$. En développant le produit scalaire terme à terme (comme un produit de deux parenthèses), on obtient quatre morceaux ; mais les axes sont perpendiculaires donc $\vec{i}\cdot\vec{j}=0$ (les deux termes croisés disparaissent !), et ils sont de longueur $1$ donc $\vec{i}\cdot\vec{i}=\vec{j}\cdot\vec{j}=1$. Il ne reste que $\vec{u}\cdot\vec{v}=x\,x'+y\,y'$. C'est aussi pour ça que la formule exige un repère orthonormé : si les axes n'étaient ni perpendiculaires ni de longueur $1$, les termes croisés ne s'effaceraient pas.

Pour calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ avec les coordonnées :

1. Lis les coordonnées $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$.
2. Calcule le produit des abscisses $x\,x'$.
3. Calcule le produit des ordonnées $y\,y'$.
4. Additionne : $\vec{u}\cdot\vec{v}=x\,x'+y\,y'$.

$\vec{u}\,(1\,;\,2)$ et $\vec{v}\,(3\,;\,-1)$.

$\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times 3+2\times(-1)=3-2=1.$

Le produit scalaire vaut $1$ (un nombre positif : l'angle est aigu).

Attention aux signes : $2\times(-1)=-2$, et non $+2$. Une erreur de signe est l'erreur la plus fréquente.

Le carré scalaire d'un vecteur est son produit scalaire avec lui-même :

$\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$

En effet, $\vec{u}$ et $\vec{u}$ forment un angle nul, donc $\cos 0=1$ et $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{u}\|\times 1=\|\vec{u}\|^2$. On note souvent $\vec{u}^2=\|\vec{u}\|^2$.

Conséquence pour calculer une norme dans un repère orthonormé : si $\vec{u}\,(x\,;\,y)$, alors $\vec{u}\cdot\vec{u}=x\times x+y\times y=x^2+y^2$, d'où

$\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Pour calculer la norme de $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ :

1. Calcule $x^2$ puis $y^2$.
2. Additionne : $x^2+y^2$.
3. Prends la racine carrée : $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

$\vec{u}\,(3\,;\,4)$.

$\|\vec{u}\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$

Et on vérifie : $\vec{u}\cdot\vec{u}=3^2+4^2=25=5^2$. ✔

Le carré scalaire est toujours positif ou nul : $\|\vec{u}\|^2\ge 0$. Il vaut $0$ seulement si $\vec{u}=\vec{0}$.

Le produit scalaire possède des propriétés de calcul qui ressemblent à celles des nombres.

Symétrie. L'ordre n'a pas d'importance : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.$

Bilinéarité. Pour tout réel $k$ et tous vecteurs :

• $(k\,\vec{u})\cdot\vec{v}=k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})$ ;
• $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$ (distributivité).

Grâce à ces règles, on développe comme avec une identité remarquable : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2.$

Pour développer $(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})$ :

1. Distribue comme une double distributivité.
2. Regroupe : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ (symétrie), donc les deux termes croisés se rassemblent.
3. Remplace $\vec{u}\cdot\vec{u}$ par $\|\vec{u}\|^2$.

Calcul de $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2$ avec $\|\vec{u}\|=2$, $\|\vec{v}\|=3$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=1$ :

$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=2^2+2\times 1+3^2=4+2+9=15.$

L'identité $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$ permet d'isoler $\vec{u}\cdot\vec{v}$ quand on connaît les trois normes.

Une autre façon de voir le produit scalaire utilise le projeté orthogonal. Soient $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{AC}$. On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.

Alors :

$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\vec{AB}\cdot\vec{AH}.$

• Si $\vec{AH}$ est dans le même sens que $\vec{AB}$ : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AH$ (produit positif).
• Si $\vec{AH}$ est de sens opposé : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-AB\times AH$ (produit négatif).

Cette vision relie le produit scalaire à une longueur projetée.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? L'astuce tient en un dessin. Coupe le chemin de $A$ à $C$ en deux étapes via le projeté $H$ : $\vec{AC}=\vec{AH}+\vec{HC}$. Comme $H$ est le pied de la perpendiculaire, $\vec{HC}$ est orthogonal à la droite $(AB)$, donc $\vec{AB}\cdot\vec{HC}=0$ : ce bout-là ne compte pour rien dans le produit scalaire. En distribuant, $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\vec{AB}\cdot\vec{AH}+\vec{AB}\cdot\vec{HC}=\vec{AB}\cdot\vec{AH}$. Autrement dit, seule l'ombre de $\vec{AC}$ portée sur $(AB)$ compte ; la partie qui s'élève perpendiculairement est invisible pour le produit scalaire.

Pour calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ avec un projeté :

1. Projette $C$ orthogonalement sur $(AB)$ : tu obtiens $H$.
2. Mesure $AB$ et $AH$.
3. Signe : $+$ si $H$ est du côté de $B$, $-$ sinon.
4. Calcule $\pm\,AB\times AH$.

Si $AB=4$, $AH=3$ et $H$ est du même côté que $B$ :

$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AH=4\times 3=12.$

Le projeté explique pourquoi un angle obtus donne un produit négatif : $H$ tombe alors « derrière » $A$, du côté opposé à $B$.