📐Orthogonalité et applications

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux lorsqu'ils forment un angle droit. On note $\vec{u}\perp\vec{v}$.

La caractérisation fondamentale est :

$\vec{u}\perp\vec{v}\ \Longleftrightarrow\ \vec{u}\cdot\vec{v}=0.$

En effet, un angle droit donne $\cos 90°=0$, donc $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Avec les coordonnées (repère orthonormé), $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$ sont orthogonaux si et seulement si $xx'+yy'=0$.

Pour montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux :

1. Calcule $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$.
2. Si le résultat est $0$, ils sont orthogonaux.
3. Sinon, ils ne le sont pas.

$\vec{u}\,(1\,;\,2)$ et $\vec{v}\,(2\,;\,-1)$ :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times 2+2\times(-1)=2-2=0.$

Donc $\vec{u}\perp\vec{v}$ : ils sont orthogonaux.

Pour fabriquer un vecteur orthogonal à $\vec{u}\,(x\,;\,y)$, il suffit d'échanger les coordonnées et de changer un signe : $\vec{v}\,(-y\,;\,x)$. Vérifie : $x\times(-y)+y\times x=0$. ✔

Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul $\vec{n}$ qui est orthogonal à un (donc à tout) vecteur directeur de $d$.

Géométriquement, $\vec{n}$ est perpendiculaire à la droite. Tout multiple non nul d'un vecteur normal est encore un vecteur normal.

Lien direction / normale : si $\vec{u}\,(a\,;\,b)$ dirige la droite, alors $\vec{n}\,(-b\,;\,a)$ (ou $\vec{n}\,(b\,;\,-a)$) lui est normal, car le produit scalaire vaut $a\times(-b)+b\times a=0$.

Pour trouver un vecteur normal à une droite dirigée par $\vec{u}\,(a\,;\,b)$ :

1. Échange les deux coordonnées.
2. Change le signe de l'une d'elles : $\vec{n}\,(-b\,;\,a)$.
3. Vérifie $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$.

Droite dirigée par $\vec{u}\,(3\,;\,2)$.

Un vecteur normal : $\vec{n}\,(-2\,;\,3)$.

Vérification : $\vec{u}\cdot\vec{n}=3\times(-2)+2\times 3=-6+6=0.$ ✔

Un vecteur directeur est parallèle à la droite ; un vecteur normal est perpendiculaire. Ne les confonds pas.

Soit $d$ la droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}\,(a\,;\,b)$. Un point $M(x\,;\,y)$ appartient à $d$ si et seulement si $\vec{AM}\perp\vec{n}$, c'est-à-dire $\vec{AM}\cdot\vec{n}=0$.

Cela donne $a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$, soit, en développant :

$ax+by+c=0$

Lecture inverse, très utile : dans une équation $ax+by+c=0$, le vecteur $\vec{n}\,(a\,;\,b)$ est toujours un vecteur normal de la droite, et $\vec{u}\,(-b\,;\,a)$ un vecteur directeur.

Pour écrire l'équation cartésienne avec un vecteur normal $\vec{n}\,(a\,;\,b)$ et un point $A$ :

1. Pose $ax+by+c=0$ (les coefficients $a$ et $b$ sont ceux de $\vec{n}$).
2. Remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ pour trouver $c$.
3. Écris l'équation finale.

Droite passant par $A(1\,;\,2)$, de normale $\vec{n}\,(3\,;\,1)$.

Équation : $3x+1y+c=0$. On y met $A$ : $3\times 1+1\times 2+c=0$, soit $5+c=0$, donc $c=-5$.

L'équation est $3x+y-5=0.$

Réflexe : dans $ax+by+c=0$, le vecteur normal se lit directement $\vec{n}\,(a\,;\,b)$ — sans le terme constant $c$.

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(MH)$ soit perpendiculaire à $d$. C'est le point de $d$ le plus proche de $M$.

Pour le déterminer avec des coordonnées : $H$ est sur $d$, et $\vec{MH}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}$ de $d$ (de façon équivalente, $\vec{MH}\cdot\vec{u}=0$ avec $\vec{u}$ directeur de $d$).

La distance de $M$ à la droite est alors la longueur $MH$.

Pour projeter $M$ sur $d$ : $ax+by+c=0$ :

1. Écris la droite $(MH)$ : elle passe par $M$ et a pour vecteur directeur $\vec{n}\,(a\,;\,b)$, normal à $d$.
2. Cherche le point d'intersection de $(MH)$ et de $d$.
3. Ce point est $H$, le projeté orthogonal.

Projeté de $M(0\,;\,0)$ sur la droite $d:\ x=3$.

La perpendiculaire à $d$ passant par $M$ est l'axe des abscisses $y=0$. Son intersection avec $x=3$ est $H(3\,;\,0)$.

Distance : $MH=3$.

Le projeté orthogonal réalise la plus courte distance entre un point et une droite : tout autre point de $d$ est plus loin de $M$ que $H$.

Dans un repère orthonormé, soit la droite $d:\ ax+by+c=0$ et un point $M(x_0\,;\,y_0)$. La distance de $M$ à $d$ est la longueur du segment $[MH]$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $d$. Elle se calcule avec :

$\mathrm{dist}(M,d)=\dfrac{|a x_0+b y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

La valeur absolue au numérateur garantit un résultat positif. Cette formule découle du produit scalaire et du projeté orthogonal.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Note $H$ le projeté de $M$ sur $d$ : le vecteur $\vec{HM}$ est colinéaire au normal $\vec{n}\,(a\,;\,b)$, donc $\vec{HM}=t\,\vec{n}$ pour un certain réel $t$. D'un côté, $\vec{n}\cdot\vec{HM}=t\,\|\vec{n}\|^2=t(a^2+b^2)$. De l'autre, $\vec{n}\cdot\vec{HM}=a(x_0-x_H)+b(y_0-y_H)=(ax_0+by_0)-(ax_H+by_H)$, et comme $H$ est sur $d$ on a $ax_H+by_H=-c$, ce qui donne $\vec{n}\cdot\vec{HM}=ax_0+by_0+c$. En égalant : $t(a^2+b^2)=ax_0+by_0+c$, donc la distance $HM=\|\vec{HM}\|=|t|\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ : la formule tombe toute seule, et la valeur absolue vient simplement de $|t|$.

Pour calculer $\mathrm{dist}(M,d)$ :

1. Mets la droite sous la forme $ax+by+c=0$.
2. Calcule $|a x_0+b y_0+c|$ avec les coordonnées de $M$.
3. Divise par $\sqrt{a^2+b^2}$.

$M(1\,;\,2)$ et $d:\ 3x+4y-5=0$.

Numérateur : $|3\times 1+4\times 2-5|=|3+8-5|=|6|=6$. Dénominateur : $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

$\mathrm{dist}(M,d)=\dfrac{6}{5}=1{,}2.$

N'oublie pas la valeur absolue au numérateur : une distance est toujours positive, même si $a x_0+b y_0+c$ est négatif.