🔺Calculs d'angles et de longueurs

De la définition $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$, on isole le cosinus de l'angle :

$\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.$

On calcule alors $\theta$ avec la touche $\cos^{-1}$ (arccos) de la calculatrice. L'angle géométrique obtenu est compris entre $0°$ et $180°$.

Le signe du cosinus renseigne déjà : positif $\Rightarrow$ angle aigu, nul $\Rightarrow$ angle droit, négatif $\Rightarrow$ angle obtus.

Pour calculer l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

1. Calcule $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$.
2. Calcule les normes $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.
3. Forme $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$.
4. Applique $\theta=\cos^{-1}(\dots)$.

$\vec{u}\,(1\,;\,0)$ et $\vec{v}\,(1\,;\,1)$.

$\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times 1+0\times 1=1$ ; $\|\vec{u}\|=1$ ; $\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

$\cos\theta=\dfrac{1}{1\times\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\theta=45°$.

Vérifie toujours que ton $\cos\theta$ est compris entre $-1$ et $1$ : sinon, il y a une erreur de calcul !

Dans un triangle $ABC$, on note classiquement $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ les longueurs des côtés, et $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ les angles aux sommets correspondants.

Le théorème d'Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore :

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}.$

(et de même $b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat{B}$, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat{C}$.)

Si $\widehat{A}=90°$, alors $\cos\widehat{A}=0$ et on retrouve $a^2=b^2+c^2$ : c'est Pythagore. Cette formule sert à trouver un côté quand on connaît deux côtés et l'angle entre eux, ou un angle quand on connaît les trois côtés.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? L'astuce est de voir le côté $\vec{BC}$ comme une différence : $\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$ (on va de $B$ à $C$ en passant par $A$). On calcule alors la longueur au carré comme un carré scalaire : $a^2=\|\vec{AC}-\vec{AB}\|^2=\|\vec{AC}\|^2-2\,\vec{AC}\cdot\vec{AB}+\|\vec{AB}\|^2$, exactement comme une identité remarquable $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$. Or $\|\vec{AC}\|=b$, $\|\vec{AB}\|=c$, et le terme du milieu est $\vec{AC}\cdot\vec{AB}=bc\cos\widehat{A}$ par définition du produit scalaire. En remplaçant, on obtient pile $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$ : Pythagore (le théorème du carré) plus un terme correctif qui mesure à quel point l'angle s'écarte de $90°$, et qui disparaît quand $\cos\widehat{A}=0$.

Pour calculer le côté $a=BC$ opposé à l'angle $\widehat{A}$ :

1. Repère les deux côtés $b$ et $c$ adjacents à $\widehat{A}$.
2. Applique $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$.
3. Prends la racine carrée pour obtenir $a$.

Triangle avec $b=AC=5$, $c=AB=3$ et $\widehat{A}=60°$ ($\cos 60°=\tfrac{1}{2}$).

$a^2=5^2+3^2-2\times 5\times 3\times\dfrac{1}{2}=25+9-15=19.$

Donc $a=BC=\sqrt{19}\approx 4{,}36.$

L'angle utilisé dans la formule est toujours celui qui est compris entre les deux côtés $b$ et $c$, c'est-à-dire l'angle opposé au côté $a$ que l'on cherche.

Quand on connaît les trois côtés d'un triangle, on retrouve un angle en isolant le cosinus dans la formule d'Al-Kashi. À partir de $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$ :

$\cos\widehat{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$

On obtient ensuite $\widehat{A}$ avec $\cos^{-1}$. Le signe du résultat indique si l'angle est aigu (positif) ou obtus (négatif).

Pour trouver l'angle $\widehat{A}$ connaissant les trois côtés :

1. Identifie $a$ (côté opposé à $\widehat{A}$), $b$ et $c$.
2. Calcule $\cos\widehat{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
3. Conclus avec $\widehat{A}=\cos^{-1}(\dots)$.

Triangle de côtés $a=BC=7$, $b=AC=5$, $c=AB=3$.

$\cos\widehat{A}=\dfrac{5^2+3^2-7^2}{2\times 5\times 3}=\dfrac{25+9-49}{30}=\dfrac{-15}{30}=-\dfrac{1}{2}.$

Donc $\widehat{A}=120°$ (angle obtus, cohérent avec le cosinus négatif).

Un $\cos\widehat{A}$ négatif annonce un angle obtus (plus grand que $90°$) : c'est un bon contrôle de cohérence.

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r>0$ est l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $\Omega M=r$. En écrivant $\Omega M^2=r^2$, on obtient l'équation du cercle :

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$

On lit directement le centre $\Omega(a\,;\,b)$ et le rayon $r$ (attention : le membre de droite est $r^2$, pas $r$). En développant, on tombe sur une forme $x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$.

Pour écrire l'équation d'un cercle :

1. Repère le centre $\Omega(a\,;\,b)$ et le rayon $r$.
2. Écris $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
3. Pour relire un centre/rayon : compare à cette forme ($r=\sqrt{r^2}$).

Cercle de centre $\Omega(2\,;\,-3)$ et de rayon $4$ :

$(x-2)^2+(y+3)^2=16$ (car $r^2=4^2=16$).

Inversement, $(x-1)^2+(y-2)^2=9$ a pour centre $\Omega(1\,;\,2)$ et pour rayon $r=\sqrt{9}=3$.

Piège classique du signe : $(y+3)^2=(y-(-3))^2$, donc l'ordonnée du centre est $-3$, et non $+3$.

Beaucoup de problèmes mélangent ces outils. Quelques réflexes à garder :

• Montrer un angle droit : calcule un produit scalaire ; s'il vaut $0$, l'angle est droit (et le triangle est rectangle, le quadrilatère a un angle droit, etc.).
• Trouver une longueur : carré scalaire $\|\vec{AB}\|^2=\vec{AB}\cdot\vec{AB}$, ou Al-Kashi.
• Trouver un angle : $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$, ou Al-Kashi.
• Point sur un cercle : vérifie que ses coordonnées satisfont $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

Stratégie générale face à un problème de géométrie :

1. Place les données en coordonnées si c'est possible.
2. Choisis l'outil selon la question (angle, longueur, orthogonalité, cercle).
3. Calcule proprement et vérifie la cohérence (signe, ordre de grandeur).

Le point $P(5\,;\,2)$ appartient-il au cercle de centre $\Omega(2\,;\,2)$ et de rayon $3$ ?

On teste : $(5-2)^2+(2-2)^2=3^2+0^2=9=3^2$. ✔ Oui, $P$ est sur le cercle.

Avant de te lancer dans des calculs, demande-toi : de quoi ai-je besoin — d'un angle, d'une longueur ou d'une orthogonalité ? Cela t'indique l'outil à utiliser.