📈Suites géométriques

Une suite $(u_n)$ est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, appelé raison :

$u_{n+1} = u_n \times q.$

Si aucun terme n'est nul, la raison se retrouve en faisant le quotient de deux termes consécutifs : $q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

Différence essentielle avec l'arithmétique : ici on multiplie (quotient constant), là on ajoutait (différence constante).

1. Calcule le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ pour plusieurs rangs.
2. S'il est constant, la suite est géométrique : ce quotient est $q$.
3. Sinon, la suite n'est pas géométrique.

Soit la suite $2, 6, 18, 54, \dots$

$\dfrac{6}{2} = 3$, $\;\dfrac{18}{6} = 3$, $\;\dfrac{54}{18} = 3$.

Le quotient est constant et vaut $3$ : la suite est géométrique de raison $q = 3$.

Arithmétique $\to$ on ajoute (différence constante). Géométrique $\to$ on multiplie (quotient constant). Ne les confonds pas.

Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$, le terme général est

$u_n = u_0 \times q^n.$

Si la suite démarre à l'indice $1$, on a $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.

Cette formule permet de calculer directement n'importe quel terme, sans passer par tous les précédents.

1. Repère le premier terme $u_0$ et la raison $q$.
2. Écris $u_n = u_0 \times q^n$.
3. Remplace $n$ par le rang voulu et calcule la puissance $q^n$.

Soit $u_0 = 2$ et $q = 3$.

$u_n = 2 \times 3^n$.

$u_3 = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$.

Vérification de proche en proche : $u_0 = 2$, $u_1 = 6$, $u_2 = 18$, $u_3 = 54$. On multiplie bien par $3$ à chaque étape.

Dans $u_n = u_0 \times q^n$, c'est $q$ qui est élevé à la puissance $n$, pas $u_0$. Attention aussi : $q^0 = 1$, donc $u_0 = u_0 \times q^0$.

Pour une suite géométrique de premier terme strictement positif $u_0 > 0$ :

$\bullet$ si $q > 1$ : la suite est croissante (croissance exponentielle) ;

$\bullet$ si $0 < q < 1$ : la suite est décroissante (elle tend vers $0$) ;

$\bullet$ si $q = 1$ : la suite est constante.

Si $q < 0$, les termes changent de signe alternativement : la suite n'est ni croissante ni décroissante.

1. Vérifie le signe de $u_0$.
2. Compare la raison $q$ à $1$ (et à $0$).
3. Conclus : $q > 1 \Rightarrow$ croissante, $0 < q < 1 \Rightarrow$ décroissante.

Pour $u_0 = 2$ et $q = 3$ ($q > 1$ et $u_0 > 0$) : la suite est croissante, et même très rapidement ($2, 6, 18, 54, \dots$).

Pour $u_0 = 100$ et $q = 0{,}5$ ($0 < q < 1$) : la suite est décroissante ($100, 50, 25, 12{,}5, \dots$) et tend vers $0$.

Le seuil décisif est $q = 1$, pas $q = 0$ : une raison $q = 0{,}5$, bien que positive, donne une suite décroissante.

Pour une raison $q \neq 1$, la somme de $n + 1$ termes consécutifs à partir de $u_0$ vaut

$u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$

Cas particulier très utile (premier terme $1$) :

$1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$

Moyen mnémotechnique : « premier terme de la somme $\times \dfrac{1 - q^{\text{nb de termes}}}{1 - q}$ ». ⚠️ « premier terme » = celui que tu écris en premier dans TA somme (pas forcément $u_0$ !), et l'exposant compte les termes de TA somme. Pour $u_3 + \dots + u_8$, c'est donc $u_3 \times \dfrac{1 - q^6}{1 - q}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Posons $S = 1 + q + q^2 + \dots + q^n$. Multiplions tout par $q$ : $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$, c'est la même somme décalée d'un cran. Soustrayons ces deux lignes : chaque puissance $q^k$ présente dans les deux (pour $k$ de $1$ à $n$) disparaît, car elle apparaît une fois dans $S$ et une fois dans $qS$. Il ne survit que le premier terme de $S$ et le dernier de $qS$ : $S - qS = 1 - q^{n+1}$, c'est-à-dire $S(1-q) = 1 - q^{n+1}$. Il ne reste qu'à diviser par $1 - q$ (possible car $q \neq 1$) pour obtenir $S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. Toute la formule tient dans cette astuce : multiplier par $q$ recopie la somme en la décalant, et la soustraction balaie tout le milieu.

1. Repère le premier terme de la somme et la raison $q$.
2. Compte le nombre de termes : il apparaît en exposant de $q$.
3. Applique $u_0 \times \dfrac{1 - q^{\text{nb termes}}}{1 - q}$.

Calculons $1 + 3 + 9 + 27 + 81$ (raison $q = 3$, $5$ termes).

$S = \dfrac{1 - 3^5}{1 - 3} = \dfrac{1 - 243}{-2} = \dfrac{-242}{-2} = 121$.

Vérification directe : $1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121$. Parfait.

L'exposant de $q$ dans la formule est le nombre de termes, pas le dernier indice. Pour $u_0$ à $u_n$, il y a $n + 1$ termes.

Une suite arithmétique modélise une croissance linéaire : on ajoute une quantité fixe à chaque étape (la courbe est une droite).

Une suite géométrique de raison $q > 1$ modélise une croissance exponentielle : on multiplie par un facteur fixe à chaque étape.

À long terme, une croissance exponentielle ($q > 1$) finit toujours par dépasser n'importe quelle croissance linéaire, aussi forte soit-elle. C'est l'« explosion » de l'exponentielle.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prenons une suite géométrique de raison $q = 2$ à termes positifs : à chaque étape elle double, donc l'augmentation $u_{n+1} - u_n = u_n$ est elle-même de plus en plus grande. Une suite linéaire, elle, ajoute toujours le même saut fixe. Or l'écart que rajoute l'exponentielle grandit sans fin (dès que $q>1$ et que les termes sont positifs), tandis que celui de la droite reste figé : tôt ou tard le saut de l'exponentielle dépasse le saut fixe, et après il ne fait que creuser l'avance. Une image : un nénuphar qui double de surface chaque jour couvrira plus vite l'étang que dix nénuphars qu'on ajouterait un par un, car l'un accélère pendant que l'autre avance d'un pas constant.

1. Repère l'opération entre deux étapes : addition $\to$ linéaire, multiplication $\to$ exponentielle.
2. Pour une croissance exponentielle, attends-toi à un emballement rapide.
3. En cas de doute, calcule quelques termes pour comparer les vitesses.

Comparons une suite arithmétique $a_n = 100 + 10n$ et une suite géométrique $g_n = 2^n$.

Au début, $a_n$ domine ($a_5 = 150$, $g_5 = 32$).

Mais $g_{10} = 1024$ alors que $a_{10} = 200$ : la géométrique a déjà largement dépassé l'arithmétique.

« Linéaire = on ajoute, exponentielle = on multiplie. » Sur le long terme, l'exponentielle ($q>1$) gagne toujours.

Une suite géométrique modélise toute évolution à taux constant : intérêts composés, croissance ou décroissance d'une population, etc.

Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par le coefficient multiplicateur $q = 1 + \dfrac{t}{100}$.

Diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $q = 1 - \dfrac{t}{100}$.

Ainsi, une évolution répétée à taux constant est exactement une suite géométrique de raison $q$.

1. Traduis le taux d'évolution en coefficient multiplicateur $q$.
2. Identifie la valeur initiale $u_0$.
3. Applique $u_n = u_0 \times q^n$ pour la valeur après $n$ périodes.

Un capital de $1000$ € placé à $5\,\%$ par an.

Coefficient : $q = 1 + \dfrac{5}{100} = 1{,}05$ ; $u_0 = 1000$.

Au bout de $2$ ans : $u_2 = 1000 \times 1{,}05^2 = 1000 \times 1{,}1025 = 1102{,}5$ €.

$+5\,\%$ ne se traduit pas par « $\times 0{,}05$ » mais par « $\times 1{,}05$ ». De même, $-20\,\%$ donne $\times 0{,}8$.