🎲Probabilités conditionnelles

Soit $A$ un événement de probabilité non nulle ($P(A) \neq 0$). La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est :

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.$

On la lit « probabilité de $B$ sachant $A$ ». Elle mesure la probabilité que $B$ se réalise en se restreignant aux cas où $A$ est réalisé.

On en déduit la formule des probabilités composées :

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine une classe de $N$ élèves, tous aussi probables d'être tirés au sort (situation d'équiprobabilité). Conditionner par $A$, c'est dire « je ne tire plus que parmi les élèves qui vérifient $A$ » : mon nouvel univers compte $n_A$ élèves au lieu de $N$. Parmi eux, ceux qui vérifient aussi $B$ sont les $n_{A\cap B}$ élèves de $A\cap B$. La probabilité cherchée est donc $\dfrac{n_{A\cap B}}{n_A}$. En divisant haut et bas par $N$, on obtient $\dfrac{n_{A\cap B}/N}{n_A/N} = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ : la division par $P(A)$ n'est rien d'autre que le fait d'avoir rétréci l'univers à $A$.

1. Repère l'événement après « sachant » : c'est le conditionnement $A$.
2. Calcule $P(A)$ (l'univers se réduit à $A$).
3. Calcule $P(A \cap B)$ (réalisation des deux événements).
4. Divise : $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Dans une classe, $P(A) = 0{,}4$ (être en section euro) et $P(A \cap B) = 0{,}1$ (être en section euro et demi-pensionnaire).

Probabilité d'être demi-pensionnaire sachant qu'on est en section euro :

$P_A(B) = \dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25.$

$P_A(B)$ et $P_B(A)$ ne sont pas égales en général : le mot qui suit « sachant » est le dénominateur. Repère-le en premier !

Un arbre pondéré décrit une expérience en plusieurs étapes. Sur chaque branche on écrit une probabilité.

• Les premières branches portent les probabilités $P(A)$ et $P(\bar{A})$.
• Les branches issues de $A$ portent les probabilités conditionnelles $P_A(B)$ et $P_A(\bar{B})$.

Loi des nœuds : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$. Ainsi $P_A(B) + P_A(\bar{B}) = 1$.

1. Place les premières branches : $P(A)$ et $P(\bar{A})$ (somme $=1$).
2. À partir de chaque nœud, place les branches conditionnelles.
3. Vérifie qu'à chaque nœud la somme des branches vaut $1$.
4. Chaque chemin complet correspond à une intersection d'événements.

Une urne donne $A$ avec $P(A) = 0{,}6$. Sachant $A$, $P_A(B) = 0{,}3$.

Branche du haut : $0{,}6$, puis $0{,}3$ vers $B$ et $0{,}7$ vers $\bar{B}$. On vérifie $0{,}3 + 0{,}7 = 1$. ✓

Branche du bas : $P(\bar{A}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.

À chaque nœud, la somme des branches doit faire 1. Si ce n'est pas le cas, ton arbre contient une erreur.

Loi des chemins (produit) : la probabilité d'un chemin complet est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

Par exemple, le chemin $A$ puis $B$ donne :

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).$

Loi des chemins (somme) : la probabilité d'un événement est la somme des probabilités de tous les chemins qui y mènent.

1. Repère le ou les chemins qui réalisent l'événement cherché.
2. Pour chaque chemin, multiplie les probabilités des branches.
3. Additionne les probabilités des différents chemins.
4. Vérifie que la somme de tous les chemins de l'arbre vaut $1$.

Avec $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}3$ :

$P(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$.

Si de plus $P(\bar{A}) = 0{,}4$ et $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}5$ :

$P(\bar{A} \cap B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}20$.

Le long d'un chemin, on multiplie ; entre plusieurs chemins, on additionne. Ne mélange jamais les deux !

Si $A$ et $\bar{A}$ partitionnent l'univers (l'un ou l'autre se réalise toujours, jamais les deux), alors pour tout événement $B$ :

$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B),$

ce qui s'écrit aussi, avec les probabilités conditionnelles :

$P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B).$

C'est la formule des probabilités totales : on additionne tous les chemins de l'arbre qui aboutissent à $B$.

1. Choisis une partition de l'univers (souvent $A$ et $\bar{A}$).
2. Calcule chaque chemin menant à $B$ : $P(A) \times P_A(B)$, etc.
3. Additionne tous ces produits pour obtenir $P(B)$.
4. Vérifie que $0 \le P(B) \le 1$.

Avec $P(A)=0{,}6$, $P_A(B)=0{,}3$, $P(\bar{A})=0{,}4$, $P_{\bar{A}}(B)=0{,}5$ :

$P(B) = 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}18 + 0{,}20 = 0{,}38.$

On retrouve bien la somme des deux chemins menant à $B$.

La formule des probabilités totales = somme de tous les chemins qui mènent à $B$. C'est l'application directe de la loi des chemins.

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. Définition :

$A \text{ et } B \text{ indépendants} \iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$

De façon équivalente, si $P(A) \neq 0$ : $P_A(B) = P(B)$ (savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la probabilité de $B$).

Attention : indépendant n'est pas la même chose qu'incompatible. Deux événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi deux événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont-ils jamais indépendants ? Incompatibles veut dire qu'ils ne peuvent pas se produire ensemble, donc $A\cap B$ est vide et $P(A\cap B) = 0$. Mais si $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$, le produit $P(A)\times P(B)$ est strictement positif, donc différent de $0$. L'égalité $P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$ est alors impossible. C'est logique : savoir que $A$ s'est produit garantit que $B$ ne s'est pas produit, donc $A$ influence bel et bien $B$ — le contraire de l'indépendance.

1. Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$.
2. Calcule le produit $P(A) \times P(B)$.
3. Compare : si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, ils sont indépendants.
4. Sinon, ils sont dépendants.

On lance deux dés équilibrés. $A$ = « le 1er dé donne 6 », $B$ = « le 2e dé donne 6 ». Les lancers n'ont aucune influence l'un sur l'autre.

$P(A) = \dfrac{1}{6}$, $P(B) = \dfrac{1}{6}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{1}{36}$.

Or $P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$ : l'égalité est vérifiée, $A$ et $B$ sont indépendants.

Indépendants ⇒ on multiplie : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Ne confonds pas avec « incompatibles » ($P(A \cap B) = 0$), qui est tout autre chose.