📐Fonctions affines

Une fonction affine est une fonction de la forme

$f(x) = ax + b$

où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés.

$\bullet$ $a$ est le coefficient directeur ; $\bullet$ $b$ est l'ordonnée à l'origine.

Sa courbe représentative est une droite. Cas particuliers : si $b=0$, $f(x)=ax$ est linéaire ; si $a=0$, $f(x)=b$ est constante.

1. Mets l'expression sous la forme $ax + b$.
2. Identifie $a$ (le nombre devant $x$) et $b$ (le terme constant).

$f(x) = 3x - 5$ est affine avec $a = 3$ et $b = -5$.

$g(x) = 7 - 2x$ s'écrit $-2x + 7$, donc $a = -2$ et $b = 7$.

Le coefficient directeur $a$, c'est le nombre collé au $x$ ; l'ordonnée à l'origine $b$, c'est le terme sans $x$.

La droite de $f(x) = ax + b$ se lit ainsi :

$\bullet$ $b$ est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées : la droite passe par $(0\,;\,b)$.

$\bullet$ $a$ mesure l'inclinaison : quand $x$ augmente de $1$, $y$ varie de $a$ (on monte de $a$ si $a>0$, on descend si $a<0$).

1. Lis $b$ : ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical.
2. À partir d'un point, avance de $+1$ en abscisse : la variation verticale donne $a$.

Une droite coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,1)$ donc $b = 1$. Quand on avance de $1$ vers la droite, on monte de $2$, donc $a = 2$.

Équation : $f(x) = 2x + 1$.

$b$ se lit directement sur l'axe des ordonnées (en $x=0$). Pour $a$ : « $+1$ horizontal $\to$ combien de vertical ? ».

Si la droite passe par deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ avec $x_A \neq x_B$, alors

$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

C'est le rapport de la variation des ordonnées sur la variation des abscisses.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Si $A$ et $B$ sont sur la droite, leurs ordonnées valent $y_A = ax_A + b$ et $y_B = ax_B + b$. En soustrayant, le $+b$ disparaît : $y_B - y_A = (ax_B + b) - (ax_A + b) = a\,(x_B - x_A)$. Il ne reste plus qu'à diviser par $x_B - x_A$ (non nul car $x_A \neq x_B$) pour isoler $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Concrètement : pour avancer de $x_A$ à $x_B$ on fait $x_B - x_A$ pas horizontaux, et chaque pas fait monter de $a$ ; le total vertical $y_B - y_A$ est donc bien $a$ fois le total horizontal.

1. Calcule la différence des ordonnées : $y_B - y_A$.
2. Calcule la différence des abscisses : $x_B - x_A$.
3. Divise : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
4. Trouve $b$ en remplaçant un point dans $y = ax + b$.

Droite passant par $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,9)$ :

$a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.

Puis $3 = 2 \times 1 + b$, donc $b = 1$. Conclusion : $f(x) = 2x + 1$.

L'ordre des points n'a pas d'importance si tu gardes le même ordre en haut et en bas : $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{y_A - y_B}{x_A - x_B}$.

Le sens de variation d'une fonction affine $f(x)=ax+b$ ne dépend que du signe de $a$ :

$\bullet$ si $a > 0$, $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ ; $\bullet$ si $a < 0$, $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ ; $\bullet$ si $a = 0$, $f$ est constante.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prends deux nombres $x_1 < x_2$ et compare leurs images : $f(x_2) - f(x_1) = (ax_2 + b) - (ax_1 + b) = a\,(x_2 - x_1)$. Comme $x_1 < x_2$, le facteur $x_2 - x_1$ est strictement positif ; le signe de la différence $f(x_2) - f(x_1)$ est donc exactement celui de $a$. Si $a > 0$, on a $f(x_2) > f(x_1)$ partout : la fonction monte. Si $a < 0$, $f(x_2) < f(x_1)$ : elle descend. C'est pour ça que $b$ ne change rien : il s'efface dans la soustraction.

1. Identifie $a$.
2. Regarde son signe : $a>0 \to$ croissante, $a<0 \to$ décroissante, $a=0 \to$ constante.

$f(x) = -2x + 7$ : ici $a = -2 < 0$, donc $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

Vérification : $f(0) = 7$ et $f(1) = 5$ ; quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue.

$b$ n'a aucune influence sur le sens de variation : seul le signe de $a$ compte.

Une fonction affine $f(x) = ax + b$ (avec $a \neq 0$) s'annule en une seule valeur, sa racine : $x_0 = -\dfrac{b}{a}$.

$\bullet$ Avant et après $x_0$, $f(x)$ est de signes opposés. $\bullet$ Sur l'intervalle où elle est croissante/décroissante, le signe se déduit avec un tableau de signes.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Quand $a \neq 0$, on peut mettre $a$ en facteur : $f(x) = ax + b = a\left(x + \dfrac{b}{a}\right) = a\,(x - x_0)$, avec $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ (la racine, là où $f$ s'annule). Le signe de $f(x)$ est alors le produit de deux signes : celui de $a$ (toujours le même) et celui de $x - x_0$. Or $x - x_0$ est négatif à gauche de $x_0$ et positif à droite. À droite de la racine, $f$ prend donc le signe de $a$ ; à gauche, le signe opposé. La règle « signe de $a$ après le zéro » n'est rien d'autre que la règle des signes du produit.

1. Résous $ax + b = 0$ pour trouver $x_0 = -\dfrac{b}{a}$.
2. Fais un tableau de signes : à droite de $x_0$, $f(x)$ a le signe de $a$.
3. À gauche de $x_0$, $f(x)$ a le signe opposé à $a$.

Étudions le signe de $f(x) = 2x - 6$.

$2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3$. Comme $a = 2 > 0$ : $\bullet$ $f(x) < 0$ pour $x < 3$ ; $\bullet$ $f(x) > 0$ pour $x > 3$.

Mémo : « signe de $a$ après le zéro ». À droite de la racine, $f$ prend le signe de $a$ ; à gauche, le signe contraire.