📈Variations et extrema

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

$\bullet$ $f$ est croissante sur $I$ si elle conserve l'ordre : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente. Pour tous $a < b$ de $I$, $f(a) \leq f(b)$.

$\bullet$ $f$ est décroissante sur $I$ si elle inverse l'ordre : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue. Pour tous $a < b$ de $I$, $f(a) \geq f(b)$.

$\bullet$ $f$ est constante sur $I$ si $f(x)$ garde la même valeur.

Pour décrire le sens de variation sur un graphique :

1. Parcours la courbe de gauche à droite (dans le sens des $x$ croissants).
2. La courbe monte $\Rightarrow$ croissante ; elle descend $\Rightarrow$ décroissante.

La fonction $f(x) = 2x + 1$ est croissante sur $\mathbb{R}$ : si $x$ augmente, $2x+1$ augmente aussi.

Vérification : $f(1) = 3$ et $f(4) = 9$ ; comme $1 < 4$ et $3 < 9$, l'ordre est conservé.

« Croissante » se lit toujours de gauche à droite. Une courbe qui descend en allant vers la droite est décroissante, même si elle « monte » quand on la lit à l'envers.

Le tableau de variation résume le sens de variation d'une fonction.

$\bullet$ La 1re ligne donne les valeurs de $x$ (bornes et abscisses des changements de sens).

$\bullet$ La 2e ligne indique les variations par des flèches : une flèche montante $\nearrow$ pour une partie croissante, une flèche descendante $\searrow$ pour une partie décroissante.

Aux extrémités des flèches, on note les images (les valeurs de $f(x)$).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $x^2$ descend puis remonte, avec le creux pile en $0$ ? Prenons deux nombres $a<b$ et regardons la différence $a^2-b^2$, qui se factorise en $(a-b)(a+b)$. Le premier facteur $a-b$ est toujours négatif (car $a<b$). Si les deux nombres sont négatifs ($a<b\leq 0$), alors $a+b<0$ aussi : le produit de deux négatifs est positif, donc $a^2>b^2$ et la fonction descend. Si les deux sont positifs ($0\leq a<b$), alors $a+b>0$ : le produit est négatif, donc $a^2<b^2$ et la fonction monte. Le basculement se fait exactement en $0$, là où $a+b$ change de signe : voilà le creux.

1. Place les bornes de l'intervalle et les abscisses des « sommets/creux ».
2. Entre deux valeurs, dessine une flèche montante ou descendante.
3. Inscris à chaque extrémité l'image $f(x)$ correspondante.

Pour $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$, la fonction décroît sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croît sur $[0\,;\,+\infty[$ :

Le creux est en $x = 0$ où $f(0) = 0$.

Une flèche ne donne pas des nombres au hasard : aux deux bouts tu écris des images $f(x)$, jamais des valeurs de $x$.

Une fonction $f$ admet un maximum $M$ sur un intervalle $I$, atteint en $x_0$, si :

$\bullet$ pour tout $x$ de $I$, $f(x) \leq M$ ; $\bullet$ et $f(x_0) = M$.

Le maximum est la plus grande image ; on précise toujours où il est atteint (la valeur de $x_0$).

1. Repère le point le plus haut de la courbe sur l'intervalle.
2. Le maximum $M$ est son ordonnée $f(x_0)$.
3. Il est atteint en $x_0$, l'abscisse de ce point.

Soit $f(x) = -x^2 + 4$. Comme $-x^2 \leq 0$, on a $f(x) \leq 4$, et $f(0) = 4$.

Le maximum de $f$ vaut $4$, atteint en $x_0 = 0$.

Maximum = la valeur $f(x_0)$ (une ordonnée), pas l'endroit $x_0$ ! On dit « le maximum vaut $4$, atteint en $0$ ».

Une fonction $f$ admet un minimum $m$ sur un intervalle $I$, atteint en $x_0$, si :

$\bullet$ pour tout $x$ de $I$, $f(x) \geq m$ ; $\bullet$ et $f(x_0) = m$.

Le minimum est la plus petite image. Maximum et minimum sont appelés ensemble les extrema de la fonction.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Comment être sûr que le creux de $f(x)=x^2-4x+3$ est en $x_0=2$ et vaut $-1$, sans tâtonner ? On range l'expression sous forme d'un carré (identité remarquable) : $(x-2)^2 = x^2-4x+4$, donc $x^2-4x+3 = (x-2)^2-1$. Or un carré n'est jamais négatif : $(x-2)^2\geq 0$ pour tout $x$, donc $f(x)\geq -1$. Et cette valeur $-1$ est bel et bien atteinte quand $(x-2)^2=0$, c'est-à-dire en $x=2$. C'est donc vraiment le minimum : la fonction ne peut pas descendre plus bas, et elle touche le fond une seule fois, en $x_0=2$.

1. Repère le point le plus bas de la courbe sur l'intervalle.
2. Le minimum $m$ est son ordonnée $f(x_0)$.
3. Il est atteint en $x_0$, l'abscisse de ce point.

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Sa courbe (parabole) a son creux en $x_0 = 2$ et $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$.

Le minimum de $f$ vaut $-1$, atteint en $x_0 = 2$.

Pour une parabole tournée vers le haut ($x^2$), il y a un minimum ; tournée vers le bas ($-x^2$), il y a un maximum.

Résoudre une inéquation comme $f(x) \geq k$, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe est au-dessus (ou sur) la droite horizontale $y = k$.

$\bullet$ $f(x) > k$ : courbe strictement au-dessus de $y=k$. $\bullet$ $f(x) < k$ : courbe strictement en dessous de $y=k$.

1. Trace la droite horizontale $y = k$.
2. Repère les abscisses où la courbe coupe cette droite.
3. Pour $f(x) \geq k$, garde les $x$ où la courbe est au-dessus de $y=k$ ; écris la réponse sous forme d'intervalle(s).

Pour $f(x) = x^2$, résolvons $f(x) \geq 4$.

La courbe coupe $y = 4$ en $x = -2$ et $x = 2$, et la parabole est au-dessus de $4$ à l'extérieur de ces bornes.

Solution : $x \in ]-\infty\,;\,-2] \cup [2\,;\,+\infty[$.

$\geq$ ou $\leq$ $\to$ crochets fermés $[\;]$ (les bornes sont incluses). $>$ ou $<$ $\to$ crochets ouverts $]\;[$.