🟦Fonctions carré, inverse, racine

La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.

$\bullet$ Sa courbe est une parabole de sommet l'origine $O(0\,;\,0)$, tournée vers le haut.

$\bullet$ Elle est paire : $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

$\bullet$ Pour tout $x$, $x^2 \geq 0$ : la fonction carré est positive.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $x^2$ remonte-t-elle après $0$ ? Prends deux nombres positifs $a < b$ et calcule la différence des images : $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$. Or $b - a > 0$ (car $a<b$) et $b + a > 0$ (deux positifs), donc le produit est positif : $b^2 > a^2$. L'ordre est conservé, la fonction est bien croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Et comme $(-x)^2 = x^2$, le côté négatif est l'image miroir du côté positif : il fait donc l'inverse, il descend.

Variations de $f(x)=x^2$ :

1. Sur $]-\infty\,;\,0]$, $f$ est décroissante.
2. Sur $[0\,;\,+\infty[$, $f$ est croissante.
3. Minimum : $f(0) = 0$, atteint en $x=0$.

Tableau de valeurs :

On voit la symétrie : $f(-2) = f(2) = 4$.

Le carré rend tout positif : $(-3)^2 = 9$, pas $-9$. Attention : $-3^2 = -9$ (le carré ne porte que sur le $3$), alors que $(-3)^2 = 9$.

La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ (on ne divise pas par $0$).

$\bullet$ Sa courbe est une hyperbole en deux branches.

$\bullet$ Elle est impaire : $f(-x) = \dfrac{1}{-x} = -f(x)$. L'hyperbole est symétrique par rapport à l'origine $O$.

$\bullet$ Elle est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$ (mais pas sur $\mathbb{R}^*$ entier).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine une tablette de chocolat partagée équitablement : à $2$ personnes chacun a $\dfrac{1}{2}$, à $4$ personnes seulement $\dfrac{1}{4}$. Plus on est nombreux, plus la part rétrécit : voilà la décroissance. On le prouve sur deux positifs $a < b$ : $\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b-a}{ab}$, et comme $b-a>0$ et $ab>0$, cette différence est positive, donc $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$. Mais entre un négatif et un positif rien ne tient (ex. $\dfrac{1}{-1}=-1$ est plus petit que $\dfrac{1}{1}=1$ alors que $-1<1$) : c'est pour ça qu'on traite chaque branche à part.

1. Vérifie que $x \neq 0$ avant tout calcul.
2. Pour comparer deux images de même signe, souviens-toi : plus $x$ augmente (pour $x>0$), plus $\dfrac{1}{x}$ diminue.

$f(2) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ et $f(4) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

Comme $2 < 4$, on a bien $f(2) > f(4)$ : la fonction est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$.

L'erreur classique : dire que $\dfrac{1}{x}$ est décroissante « sur $\mathbb{R}^*$ ». Faux ! Elle est décroissante sur chaque intervalle, séparément.

La fonction racine carrée est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}$ (le contenu d'une racine est $\geq 0$).

$\bullet$ $\sqrt{x}$ est le nombre positif dont le carré vaut $x$ : $(\sqrt{x})^2 = x$ et $\sqrt{x} \geq 0$.

$\bullet$ La fonction racine est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

$\bullet$ Sa courbe part de l'origine $O(0\,;\,0)$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Supposons un instant que la racine ne soit PAS croissante : on aurait deux nombres $0 \leq a < b$ avec pourtant $\sqrt{a} \geq \sqrt{b}$. Élevons au carré ces deux quantités positives ; l'inégalité se conserve, donc $(\sqrt{a})^2 \geq (\sqrt{b})^2$, c'est-à-dire $a \geq b$. Contradiction avec $a < b$ ! Notre hypothèse était absurde : forcément $\sqrt{a} < \sqrt{b}$, la racine est bien croissante.

1. Vérifie que $x \geq 0$.
2. Pour quelques carrés parfaits, $\sqrt{x}$ se calcule de tête : $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$.

$\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$ et $3 \geq 0$.

$\sqrt{16} = 4$ car $4^2 = 16$. On ne prend jamais $-3$ ou $-4$ : la racine est positive.

$\sqrt{x}$ est toujours positive : $\sqrt{9} = 3$, jamais $\pm 3$. C'est l'équation $x^2 = 9$ qui a deux solutions ($3$ et $-3$).

Comparer $f(a)$ et $f(b)$ revient à utiliser le sens de variation de la fonction.

$\bullet$ Fonction croissante : l'ordre est conservé ($a<b \Rightarrow f(a)<f(b)$).

$\bullet$ Fonction décroissante : l'ordre est inversé ($a<b \Rightarrow f(a)>f(b)$).

1. Identifie sur quel intervalle se trouvent $a$ et $b$.
2. Détermine le sens de variation sur cet intervalle.
3. Conclus : croissante $\to$ même ordre ; décroissante $\to$ ordre inversé.

Comparons $\sqrt{5}$ et $\sqrt{7}$.

La fonction racine est croissante. Comme $5 < 7$, on a $\sqrt{5} < \sqrt{7}$.

Pour la fonction carré, attention au signe : sur les négatifs elle décroît. Ainsi $(-3)^2 = 9 > (-2)^2 = 4$, alors que $-3 < -2$ !

Quelques équations de référence :

$\bullet$ $x^2 = a$ (avec $a > 0$) a deux solutions : $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$. $\bullet$ $x^2 = 0$ a une seule solution : $x = 0$. $\bullet$ $x^2 = a$ (avec $a < 0$) n'a aucune solution (un carré est positif).

$\bullet$ $\dfrac{1}{x} = a$ (avec $a \neq 0$) a une solution : $x = \dfrac{1}{a}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $x^2 = a$ (avec $a>0$) donne-t-elle pile DEUX solutions ? Écris $a = (\sqrt{a})^2$, l'équation devient $x^2 - (\sqrt{a})^2 = 0$, qui se factorise (identité remarquable) en $(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) = 0$. Un produit est nul exactement quand l'un de ses facteurs l'est : donc $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$, et aucune autre valeur n'est possible. C'est aussi pour ça que $a<0$ ne donne rien (un carré ne vaut jamais un négatif) et que $a=0$ ne donne que $x=0$ (les deux solutions se confondent).

Pour $x^2 = a$ :

1. Si $a > 0$ : deux solutions $\pm\sqrt{a}$.
2. Si $a = 0$ : une solution $0$.
3. Si $a < 0$ : aucune solution.

Résolvons $x^2 = 25$.

$a = 25 > 0$ : deux solutions, $x = \sqrt{25} = 5$ ou $x = -\sqrt{25} = -5$.

Vérification : $5^2 = 25$ et $(-5)^2 = 25$.

Ne « passe » jamais un carré à la racine en oubliant le $\pm$ : $x^2 = 25$ donne $x = 5$ OU $x = -5$, pas seulement $5$ !