🧮Calcul littéral et identités

Développer, c'est transformer un produit en une somme.

Simple distributivité : $k(a + b) = ka + kb$.

Double distributivité : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.

Pour développer $(a+b)(c+d)$ :

1. Multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.
2. Tu obtiens quatre produits.
3. Réduis en regroupant les termes semblables.

Développer $(x + 3)(2x - 5)$.

$= x \times 2x + x \times (-5) + 3 \times 2x + 3 \times (-5)$ $= 2x^2 - 5x + 6x - 15 = 2x^2 + x - 15$.

Surveille les signes ! $x \times (-5) = -5x$. Une erreur de signe dans un des quatre produits fausse tout le résultat.

Trois produits reviennent si souvent qu'on les apprend par cœur :

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dessine un grand carré de côté $a+b$ : son aire est $(a+b)^2$. Maintenant coupe-le par un trait horizontal et un trait vertical à la distance $a$ : tu obtiens quatre morceaux, un carré $a^2$, un carré $b^2$, et deux rectangles identiques $a \times b$. En recollant tout : $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$. Les deux rectangles, c'est exactement le fameux double produit $2ab$ qu'on oublie si souvent !

Pour développer avec une identité :

1. Repère la forme : carré d'une somme, d'une différence, ou produit conjugué.
2. Identifie clairement $a$ et $b$.
3. Applique la formule sans oublier le double produit $2ab$.

Développer $(2x + 3)^2$.

Ici $a = 2x$ et $b = 3$ : $(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

L'erreur la plus fréquente : oublier le terme du milieu. $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ ! Il manque $2ab$.

Factoriser, c'est transformer une somme en un produit. C'est l'opération inverse du développement.

On cherche un facteur commun présent dans chaque terme : $ka + kb = k(a + b)$.

1. Repère ce qui apparaît dans tous les termes (un nombre, une lettre, une parenthèse).
2. Mets ce facteur commun en facteur devant une parenthèse.
3. Dans la parenthèse, écris ce qu'il reste de chaque terme.
4. Vérifie en redéveloppant.

Factoriser $6x^2 + 9x$.

Facteur commun : $3x$ (car $6x^2 = 3x \times 2x$ et $9x = 3x \times 3$). Donc $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$.

N'oublie pas le $1$ caché : $x^2 + x = x(x + 1)$, et non $x(x)$. Quand un terme est entièrement le facteur commun, il laisse un $1$.

On utilise les identités dans l'autre sens pour factoriser :

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \qquad a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

La dernière (différence de deux carrés) est la plus utilisée.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ? Prends un carré $a^2$ et retires-en un petit carré $b^2$ dans un coin : il reste un coude en forme de L d'aire $a^2 - b^2$. Découpe ce L en deux rectangles et recolle-les bout à bout : tu obtiens un seul rectangle de longueur $a+b$ et de largeur $a-b$, donc d'aire $(a+b)(a-b)$. Comme on n'a fait que déplacer des morceaux sans rien perdre, les deux aires sont égales.

Pour factoriser une différence de carrés :

1. Vérifie que l'expression est de la forme $A^2 - B^2$.
2. Identifie $A$ et $B$ (pense à $4 = 2^2$, $9 = 3^2 \dots$).
3. Écris $(A + B)(A - B)$.

Factoriser $x^2 - 25$.

On reconnaît $x^2 - 5^2$, donc $A = x$ et $B = 5$ : $x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)$.

Une somme de carrés $a^2 + b^2$ ne se factorise pas (dans $\mathbb{R}$). Seule la différence $a^2 - b^2$ le permet.

Une expression rationnelle est un quotient de deux expressions littérales : $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Elle n'est définie que si le dénominateur n'est pas nul. On cherche donc les valeurs interdites : celles qui annulent $B(x)$.

On simplifie en factorisant le haut et le bas, puis en supprimant les facteurs communs.

1. Factorise le numérateur et le dénominateur.
2. Détermine les valeurs interdites (dénominateur $= 0$).
3. Simplifie les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Simplifier $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$.

Valeur interdite : $x + 3 = 0$, soit $x = -3$. On factorise : $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$. Donc $\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x - 3$ (pour $x \neq -3$).

On ne simplifie que des facteurs (multipliés), jamais des termes additionnés. Dans $\dfrac{x + 3}{3}$, on ne « barre » pas les $3$ : le résultat n'est pas $x$ !