⚖️Équations et inéquations

Une équation du premier degré s'écrit, après transformation, sous la forme $ax + b = 0$ avec $a \neq 0$. Sa solution unique est $x = -\dfrac{b}{a}$.

Résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? « Changer un terme de côté en changeant son signe » n'est pas une astuce magique : c'est juste un raccourci pour « faire la même opération des deux côtés ». Dans $3x - 4 = x + 6$, ajouter $4$ à gauche et à droite donne $3x = x + 10$ : le $-4$ a disparu à gauche et un $+4$ a surgi à droite, comme s'il avait « traversé » le signe $=$ en changeant de signe. L'égalité reste vraie car on a traité les deux membres exactement pareil, comme une balance qui reste équilibrée si on pose le même poids des deux côtés.

1. Regroupe les termes en $x$ d'un côté, les nombres de l'autre.
2. À chaque opération, fais la même chose des deux côtés.
3. Réduis chaque membre.
4. Divise par le coefficient de $x$.

Résoudre $3x - 4 = x + 6$.

$3x - x = 6 + 4$, soit $2x = 10$, donc $x = \dfrac{10}{2} = 5$. Vérification : $3 \times 5 - 4 = 11$ et $5 + 6 = 11$. ✓ La solution est $x = 5$.

Quand un terme change de côté du signe $=$, il change de signe. Vérifie toujours ta solution en la remplaçant dans l'équation de départ.

Règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul.

$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que ni $A$ ni $B$ ne soit nul : par exemple $A = 3$ et $B = 0{,}1$. Leur produit vaut $0{,}3$, ce n'est pas $0$. Et c'est toujours vrai : multiplier deux nombres tous les deux différents de $0$ ne peut jamais redonner $0$ (le produit garde une « taille » non nulle). Donc pour que $A \times B$ tombe pile sur $0$, il faut forcément qu'au moins l'un des deux soit déjà $0$ : il n'y a pas d'autre issue. C'est exactement ce que dit la règle.

Pour résoudre $(\dots)(\dots) = 0$ :

1. Assure-toi que le second membre est bien $0$.
2. Pose que chaque facteur peut être nul.
3. Résous chaque petite équation séparément.
4. Rassemble toutes les solutions.

Résoudre $(x - 2)(2x + 6) = 0$.

Soit $x - 2 = 0$, soit $2x + 6 = 0$. Premier cas : $x = 2$. Second cas : $2x = -6$, donc $x = -3$. Les solutions sont $x = 2$ et $x = -3$.

Cette règle ne marche que si le produit est égal à $0$. Si tu as $(x-2)(x+1) = 5$, tu ne peux pas dire $x - 2 = 5$ : il faut d'abord tout ramener à $0$.

Une inéquation compare deux expressions avec $<$, $>$, $\leq$ ou $\geq$. On la résout comme une équation, mais :

• ajouter/soustraire ou multiplier/diviser par un positif conserve le sens ;
• multiplier/diviser par un négatif inverse le sens de l'inégalité.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Place deux nombres sur la droite graduée, par exemple $2 < 5$ : $2$ est à gauche de $5$. Multiplie tout par $-1$ : $2$ devient $-2$ et $5$ devient $-5$. Or sur la droite, $-5$ est à gauche de $-2$ : l'ordre s'est retourné ! Multiplier par un négatif, c'est faire le miroir autour de $0$, et un miroir échange la gauche et la droite. D'où $-2 > -5$ : le sens de l'inégalité s'inverse. Le vérifier sur un exemple suffit à ne plus jamais l'oublier.

1. Isole l'inconnue comme pour une équation.
2. Surveille le signe du nombre par lequel tu divises.
3. Si ce nombre est négatif, retourne le symbole.
4. Écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Résoudre $-2x + 1 \geq 7$.

$-2x \geq 6$, puis on divise par $-2$ (négatif) en inversant : $x \leq -3$. Solutions : $x \in \,]-\infty\,;\,-3]$.

Le piège n°1 du chapitre : oublier d'inverser le sens en divisant par un négatif. Teste une valeur extrême pour vérifier ton intervalle.

Le tableau de signes donne le signe d'un produit (ou d'un quotient) selon $x$.

Un facteur du premier degré $ax + b$ s'annule en $x = -\dfrac{b}{a}$. À gauche et à droite de cette valeur, il a des signes opposés. Le signe du produit s'obtient en multipliant les signes de chaque ligne (règle des signes).

1. Trouve la valeur qui annule chaque facteur.
2. Range ces valeurs dans l'ordre croissant en haut du tableau.
3. Pour chaque facteur, indique son signe avant/après son zéro.
4. Multiplie les signes colonne par colonne pour obtenir le signe du produit.

Signe de $(x - 1)(x + 2)$.

$x - 1$ s'annule en $1$, $x + 2$ en $-2$.

Le produit est positif hors de $[-2\,;\,1]$, négatif dedans.

Pour un facteur $ax + b$ avec $a > 0$ : il est négatif avant son zéro, positif après. Si $a < 0$, c'est l'inverse.

On peut résoudre une équation graphiquement en lisant des points sur un graphique.

• Résoudre $f(x) = k$ : on cherche les abscisses des points de la courbe de $f$ qui ont pour ordonnée $k$.
• Résoudre $f(x) = g(x)$ : on cherche les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Pour résoudre $f(x) = k$ graphiquement :

1. Trace (ou repère) la droite horizontale d'équation $y = k$.
2. Marque les points où elle coupe la courbe de $f$.
3. Lis les abscisses de ces points : ce sont les solutions.

Soit $f(x) = 2x - 1$. Résoudre graphiquement $f(x) = 3$.

On cherche le point de la droite d'ordonnée $3$. On lit (ou on calcule) $2x - 1 = 3$, soit $x = 2$. La droite $y = 3$ coupe la courbe au point d'abscisse $2$.

On lit toujours les abscisses (axe horizontal) pour les solutions d'une équation, pas les ordonnées. Une lecture graphique donne une valeur approchée.