✳️Trinôme du second degré (découverte)

Un trinôme du second degré est une fonction de la forme

$f(x) = ax^2 + bx + c$

avec $a \neq 0$. C'est la forme développée.

Sa courbe est une parabole : $\bullet$ tournée vers le haut si $a > 0$ (la fonction admet un minimum) ; $\bullet$ tournée vers le bas si $a < 0$ (la fonction admet un maximum).

1. Identifie $a$ (devant $x^2$), $b$ (devant $x$) et $c$ (constante).
2. Regarde le signe de $a$ : $a>0 \to$ parabole vers le haut (minimum), $a<0 \to$ vers le bas (maximum).

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ : ici $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$.

Comme $a = 1 > 0$, la parabole est tournée vers le haut : $f$ admet un minimum.

Le coefficient $a$ donne la forme : vers le haut ($a>0$) comme un sourire, vers le bas ($a<0$) comme une moue.

La parabole de $f(x) = ax^2 + bx + c$ admet un sommet $S$ et un axe de symétrie vertical passant par ce sommet.

L'abscisse du sommet est

$x_S = -\dfrac{b}{2a}$

Son ordonnée est $y_S = f(x_S)$. L'axe de symétrie a pour équation $x = x_S$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prenons une hauteur $k$ que la parabole atteint en deux points d'abscisses $x_1$ et $x_2$ (avec $x_1 \neq x_2$) : alors $a x_1^2 + b x_1 + c = a x_2^2 + b x_2 + c$. En passant tout du même côté et en factorisant, $a(x_1^2 - x_2^2) + b(x_1 - x_2) = (x_1 - x_2)\big[a(x_1 + x_2) + b\big] = 0$. Comme $x_1 \neq x_2$, c'est le crochet qui est nul, d'où $\dfrac{x_1 + x_2}{2} = -\dfrac{b}{2a}$. Autrement dit, deux points de même hauteur ont toujours le même milieu $-\dfrac{b}{2a}$ : c'est l'axe de symétrie, et le sommet est dessus.

1. Calcule $x_S = -\dfrac{b}{2a}$.
2. Calcule $y_S = f(x_S)$ en remplaçant.
3. Le sommet est $S(x_S\,;\,y_S)$ ; l'axe de symétrie est $x = x_S$.

Pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$ ($a=1$, $b=-4$) :

$x_S = -\dfrac{-4}{2 \times 1} = \dfrac{4}{2} = 2$.

$y_S = f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Sommet : $S(2\,;\,-1)$ ; axe de symétrie : $x = 2$.

N'oublie pas le signe « moins » dans $x_S = -\dfrac{b}{2a}$ : avec $b = -4$, on obtient $x_S = +2$, pas $-2$.

La forme canonique d'un trinôme met en évidence le sommet :

$f(x) = a\,(x - \alpha)^2 + \beta$

où $S(\alpha\,;\,\beta)$ est le sommet de la parabole ($\alpha = x_S$ et $\beta = y_S$).

Cette forme se lit directement : le sommet et l'axe de symétrie $x = \alpha$ apparaissent immédiatement.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Regardons $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a > 0$. Le carré $(x - \alpha)^2$ est toujours $\geq 0$, et il vaut $0$ uniquement quand $x = \alpha$. Donc $a(x - \alpha)^2 \geq 0$, ce qui donne $f(x) \geq \beta$ pour tout $x$, avec égalité seulement en $x = \alpha$. La plus petite valeur de $f$ est donc $\beta$, atteinte en $\alpha$ : voilà pourquoi $S(\alpha\,;\,\beta)$ est bien le sommet (le creux). Si $a < 0$, tout se retourne et $\beta$ devient le maximum.

1. Calcule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.
2. Calcule $\beta = f(\alpha)$.
3. Écris $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$.
4. Vérifie en développant que tu retrouves la forme initiale.

Pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : $\alpha = 2$ et $\beta = -1$.

Forme canonique : $f(x) = (x - 2)^2 - 1$.

Vérification : $(x-2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3$. ✓

Dans $a(x-\alpha)^2 + \beta$, attention au signe : $(x-2)^2$ correspond à $\alpha = +2$ (le sommet est en $x=2$).

Les variations d'un trinôme dépendent du signe de $a$ et du sommet $x_S = -\dfrac{b}{2a}$.

$\bullet$ Si $a > 0$ : $f$ décroît sur $]-\infty\,;\,x_S]$ puis croît sur $[x_S\,;\,+\infty[$ ; minimum $y_S$ en $x_S$.

$\bullet$ Si $a < 0$ : $f$ croît puis décroît ; maximum $y_S$ en $x_S$.

1. Calcule $x_S = -\dfrac{b}{2a}$ et $y_S = f(x_S)$.
2. Si $a>0$ : décroissante avant $x_S$, croissante après (minimum).
3. Si $a<0$ : croissante avant $x_S$, décroissante après (maximum).

Pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$ ($a>0$, $x_S = 2$, $y_S = -1$) :

$f$ décroît sur $]-\infty\,;\,2]$ puis croît sur $[2\,;\,+\infty[$. Minimum $-1$ atteint en $x = 2$.

Le sommet sépare la parabole en deux : un côté qui descend, un côté qui monte. Le signe de $a$ dit lequel est lequel.

Les racines d'un trinôme sont les solutions de $f(x) = 0$ : ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.

Si le trinôme a deux racines $x_1$ et $x_2$, il se factorise :

$f(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2)$

C'est la forme factorisée. Elle est très pratique car un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

À partir de la forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ :

1. Pose $f(x) = 0$.
2. Un produit est nul si un facteur est nul : $x - x_1 = 0$ ou $x - x_2 = 0$.
3. Les racines sont $x_1$ et $x_2$.

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ se factorise en $(x - 1)(x - 3)$.

$f(x) = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0$ ou $x - 3 = 0$, donc $x = 1$ ou $x = 3$.

Vérification : $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ et $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$. ✓

Sous la forme $a(x - x_1)(x - x_2)$, les racines se lisent en changeant le signe : $(x - 1)$ donne la racine $+1$, $(x + 2)$ donnerait $-2$.