📈Équations de droites

Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul qui a la même direction que $d$ (il est « parallèle » à la droite).

Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$, alors $\vec{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.

Une droite a une infinité de vecteurs directeurs : tous colinéaires entre eux. Par exemple $\vec{AB}$, $2\vec{AB}$, $-\vec{AB}$ dirigent tous la même droite.

Pour trouver un vecteur directeur :

1. Choisis deux points $A$ et $B$ de la droite.
2. Calcule $\vec{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A)$.
3. Ce vecteur dirige la droite.

La droite passe par $A(1 ; 2)$ et $B(4 ; 6)$.

$\vec{AB}(4-1 ; 6-2) = (3 ; 4)$ est un vecteur directeur.

Pour la droite d'équation $y = mx + p$, le vecteur $\vec{u}(1 ; m)$ est un vecteur directeur très pratique : « 1 vers la droite, m vers le haut ».

Le coefficient directeur (ou pente) $m$ d'une droite non verticale passant par $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ est :

$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Il mesure la variation verticale divisée par la variation horizontale. Si $m > 0$ la droite monte, si $m < 0$ elle descend, si $m = 0$ elle est horizontale.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi peut-on choisir n'importe quels deux points de la droite et toujours tomber sur le même $m$ ? Imagine que tu montes une rampe régulière : que tu mesures la montée sur $3$ m ou sur $30$ m d'avancée, le rapport « hauteur gagnée / distance parcourue » reste identique, parce que la rampe garde la même inclinaison partout. C'est exactement le théorème de Thalès : deux points proches et deux points éloignés forment deux triangles rectangles semblables (mêmes proportions), donc $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ ne change pas. Voilà pourquoi la pente $m$ est une vraie caractéristique de la droite, et pas de tes deux points.

Pour calculer le coefficient directeur :

1. Calcule la différence des ordonnées : $y_B - y_A$.
2. Calcule la différence des abscisses : $x_B - x_A$.
3. Divise : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
4. Vérifie que $x_B \neq x_A$ (sinon la droite est verticale).

Avec $A(1 ; 2)$ et $B(4 ; 6)$ :

$m = \dfrac{6 - 2}{4 - 1} = \dfrac{4}{3}$.

⚠️ Bien mettre les ordonnées au numérateur ($\Delta y$) et les abscisses au dénominateur ($\Delta x$). L'inverse est une erreur classique !

Toute droite non verticale a une équation réduite de la forme :

$y = mx + p$

• $m$ est le coefficient directeur (la pente) ;
• $p$ est l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées (le point $(0 ; p)$).

Une droite verticale n'a pas d'équation réduite : son équation est de la forme $x = c$ (constante).

Pour trouver l'équation réduite à partir de deux points :

1. Calcule le coefficient directeur $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
2. Remplace $x$, $y$ et $m$ par les valeurs d'un point connu pour trouver $p$.
3. Écris $y = mx + p$ avec les valeurs trouvées.

Droite passant par $A(0 ; 1)$ et $B(2 ; 5)$.

$m = \dfrac{5 - 1}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2$.

Avec $A(0 ; 1)$ : $1 = 2 \times 0 + p$, donc $p = 1$.

Équation : $y = 2x + 1$.

Pour lire $p$ rapidement : c'est l'ordonnée du point où la droite croise l'axe vertical (là où $x = 0$).

Toute droite du plan (verticale ou non) admet une équation cartésienne :

$ax + by + c = 0$

où $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls.

Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(-b ; a)$.

Pour passer de la forme réduite $y = mx + p$ à la forme cartésienne, on regroupe tout d'un côté : $mx - y + p = 0$ (ici $a = m$, $b = -1$, $c = p$).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? D'où sort ce vecteur directeur $\vec{u}(-b ; a)$, qui mélange étrangement $a$ et $b$ avec un signe ? Vérifie-le par toi-même : pars d'un point $M(x ; y)$ de la droite (donc $ax + by + c = 0$) et avance de $\vec{u}(-b ; a)$, tu arrives en $M'(x - b ; y + a)$. Teste si $M'$ est encore sur la droite : $a(x-b) + b(y+a) + c = ax + by + c - ab + ab = 0$. Les deux termes $-ab$ et $+ab$ s'annulent exactement ! Donc se déplacer de $\vec{u}(-b ; a)$ te laisse toujours sur la droite : ce vecteur la dirige, c'est garanti.

Pour passer de réduite à cartésienne :

1. Pars de $y = mx + p$.
2. Fais passer tout du même côté : $mx - y + p = 0$.
3. Identifie $a = m$, $b = -1$, $c = p$.

Équation réduite $y = 2x + 1$.

On écrit $2x - y + 1 = 0$ : c'est l'équation cartésienne, avec un vecteur directeur $\vec{u}(-b ; a) = (1 ; 2)$.

Vérification : pour $y = mx + p$, le vecteur directeur $\vec{u}(1 ; m)$ et celui issu du cartésien $(-b ; a) = (1 ; m)$ coïncident bien.

Deux droites sont parallèles si elles ont la même direction, donc des vecteurs directeurs colinéaires ; sinon elles sont sécantes (un seul point commun).

Critère de colinéarité (déterminant). Deux vecteurs $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ sont colinéaires si et seulement si :

$x\,y' - x'\,y = 0$

Le nombre $x y' - x' y$ s'appelle le déterminant. S'il est nul, les vecteurs sont colinéaires (droites parallèles) ; non nul, les droites sont sécantes.

Cas des équations réduites : deux droites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ sont parallèles $\iff$ $m = m'$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi ce « produit en croix » $xy' - x'y$ détecte-t-il la colinéarité ? Si $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{u}$, c'est qu'on l'obtient en multipliant $\vec{u}$ par un même facteur $k$ (peu importe son signe ou s'il est plus petit que $1$) : alors $x' = kx$ et $y' = ky$, les deux coordonnées sont multipliées par le même $k$. Le déterminant devient $x(ky) - (kx)y = kxy - kxy = 0$ : les deux produits croisés sont égaux, leur différence s'efface. Inversement, un déterminant non nul signale que les coordonnées ne sont pas dans le même rapport, donc deux directions différentes : les droites se croisent.

Pour savoir si deux droites sont parallèles :

1. Trouve un vecteur directeur de chaque droite.
2. Calcule le déterminant $x y' - x' y$.
3. Si le déterminant vaut $0$ : parallèles ; sinon : sécantes.

$\vec{u}(2 ; 3)$ et $\vec{v}(4 ; 6)$.

Déterminant : $2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$.

Le déterminant est nul : les vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles.

Le déterminant $x y' - x' y$ se lit « en croix » : produit de la diagonale descendante moins produit de la diagonale montante.