📍Repérage et coordonnées

Un repère du plan est formé d'une origine $O$ et de deux axes gradués : l'axe des abscisses (horizontal) et l'axe des ordonnées (vertical).

Chaque point $M$ est repéré par un couple de nombres $M(x_M ; y_M)$ :

• $x_M$ est l'abscisse (on se déplace horizontalement) ;
• $y_M$ est l'ordonnée (on se déplace verticalement).

Un repère est orthonormé quand les deux axes sont perpendiculaires et que l'unité est la même sur chaque axe. C'est ce type de repère qui permet de mesurer des distances.

Pour placer un point $M(3 ; 2)$ :

1. Pars de l'origine $O$.
2. Avance de $3$ vers la droite (abscisse).
3. Monte de $2$ (ordonnée).
4. Marque le point obtenu.

Le point $A(1 ; 2)$ se trouve à $1$ unité à droite de $O$ et $2$ unités vers le haut.

Le point $O(0 ; 0)$ est l'origine elle-même.

⚠️ Ordre des coordonnées : abscisse d'abord, ordonnée ensuite $(x ; y)$. On lit « x, y », jamais l'inverse !

Les coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ se calculent par arrivée moins départ :

$\vec{AB}\,(x_B - x_A \;;\; y_B - y_A)$

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.

Pour additionner deux vecteurs, on ajoute leurs coordonnées ; pour multiplier par un nombre $k$, on multiplie chaque coordonnée par $k$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Le vecteur $\vec{AB}$, c'est le « trajet » qui mène de $A$ jusqu'à $B$. Pour aller de $A(x_A ; y_A)$ à $B(x_B ; y_B)$, combien dois-tu te décaler horizontalement ? Exactement de quoi passer de l'abscisse $x_A$ à l'abscisse $x_B$, soit $x_B - x_A$ ; et verticalement de $y_B - y_A$. C'est pour ça que c'est toujours arrivée moins départ : on mesure le déplacement, comme « ma position finale moins ma position de départ ». Et si tu repars de $B$ vers $A$, tu fais le trajet en sens inverse : tous les écarts changent de signe, ce qui donne $\vec{BA}$, l'opposé.

Pour les coordonnées de $\vec{AB}$ :

1. Repère les coordonnées de $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$.
2. Calcule l'abscisse : $x_B - x_A$ (toujours arrivée − départ).
3. Calcule l'ordonnée : $y_B - y_A$.
4. Écris $\vec{AB}\,(x_B - x_A ; y_B - y_A)$.

Avec $A(1 ; 2)$ et $B(4 ; 6)$ :

$\vec{AB}\,(4 - 1 \;;\; 6 - 2) = \vec{AB}\,(3 ; 4)$.

⚠️ Toujours arrivée moins départ, pas l'inverse ! Si tu inverses, tu obtiens $\vec{BA}$, l'opposé.

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de $A$ et $B$ :

$I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \;;\; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$

On fait la moyenne des abscisses pour obtenir l'abscisse du milieu, et la moyenne des ordonnées pour son ordonnée.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Le milieu, c'est le point pile « à mi-chemin ». Or la moyenne de deux nombres, c'est justement le nombre qui tombe au milieu : entre $1$ et $4$, le point central est $\dfrac{1+4}{2} = 2{,}5$, à $1{,}5$ de chacun. En faisant cette moyenne sur les abscisses, on se place à mi-chemin horizontalement ; en la faisant sur les ordonnées, à mi-chemin verticalement. Comme on est au milieu dans les deux directions à la fois, on est exactement au milieu du segment. Tu peux vérifier : l'écart de $I$ à $A$ et l'écart de $I$ à $B$ sont identiques, c'est ce qui définit le milieu.

Pour le milieu $I$ de $[AB]$ :

1. Additionne les abscisses, puis divise par $2$.
2. Additionne les ordonnées, puis divise par $2$.
3. Écris les deux résultats : $I(\ldots ; \ldots)$.

Avec $A(1 ; 2)$ et $B(4 ; 6)$ :

$x_I = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$ et $y_I = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.

Donc $I(2{,}5 ; 4)$.

On additionne (puis on divise par 2) : c'est une moyenne. Ne confonds pas avec les coordonnées d'un vecteur où l'on soustrait !

Dans un repère orthonormé, la distance entre $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ est :

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Cette formule vient directement du théorème de Pythagore : on construit un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $|x_B - x_A|$ et $|y_B - y_A|$, et $AB$ est l'hypoténuse.

Pour calculer $AB$ :

1. Calcule $x_B - x_A$ et élève au carré.
2. Calcule $y_B - y_A$ et élève au carré.
3. Additionne les deux carrés.
4. Prends la racine carrée du total.

Avec $A(1 ; 2)$ et $B(4 ; 6)$ :

$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Le carré supprime les signes : $(x_B - x_A)^2 = (x_A - x_B)^2$. L'ordre des points n'a donc aucune importance pour la distance.

Les coordonnées permettent de prouver des propriétés géométriques par le calcul :

• $ABCD$ est un parallélogramme $\iff$ $\vec{AB} = \vec{DC}$, c'est-à-dire mêmes coordonnées ;
• équivalent : $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu (les diagonales se coupent en leur milieu) ;
• un triangle est isocèle si deux de ses côtés ont la même longueur (mêmes distances).

Pour montrer que $ABCD$ est un parallélogramme :

1. Calcule les coordonnées de $\vec{AB}$ et de $\vec{DC}$.
2. Compare-les.
3. Si elles sont égales, $ABCD$ est un parallélogramme.

$A(0 ; 0)$, $B(3 ; 1)$, $C(4 ; 4)$, $D(1 ; 3)$.

$\vec{AB}\,(3 - 0 ; 1 - 0) = (3 ; 1)$ et $\vec{DC}\,(4 - 1 ; 4 - 3) = (3 ; 1)$.

Mêmes coordonnées $\Rightarrow$ $ABCD$ est un parallélogramme.

Le critère « même milieu des diagonales » marche pour tout parallélogramme. Calcule le milieu de $[AC]$ et celui de $[BD]$ : s'ils coïncident, c'est gagné.