📦Géométrie dans l'espace

Voici les solides à connaître :

• le pavé droit (parallélépipède rectangle) : 6 faces rectangulaires ; le cube en est un cas particulier ;
• le prisme droit : deux bases identiques (polygones) reliées par des rectangles ;
• la pyramide : une base polygonale et un sommet ;
• le cylindre : deux disques identiques reliés par une surface courbe ;
• le cône : un disque de base et un sommet ;
• la sphère (surface) et la boule (solide plein) : ensemble des points à distance $\le r$ du centre.

Pour identifier un solide :

1. Observe les bases : combien, quelle forme.
2. Observe les faces latérales : planes (polyèdre) ou courbes (cylindre, cône, sphère).
3. Cherche un éventuel sommet (pyramide, cône).

Une boîte de conserve fermée est modélisée par un cylindre (deux disques + une surface courbe).

Une pyramide de Khéops est modélisée par une pyramide à base carrée.

Distinction clé : la sphère est seulement la surface (la « peau »), tandis que la boule est le solide plein (l'intérieur compris).

Dans l'espace, deux droites peuvent être :

• coplanaires (dans un même plan), et alors :
  • sécantes : un seul point commun ;
  • strictement parallèles : aucun point commun ;
  • confondues : tous les points communs ;
• non coplanaires : elles ne sont dans aucun plan commun et n'ont aucun point commun. C'est une situation nouvelle par rapport au plan !

Deux droites non coplanaires ne sont ni sécantes, ni parallèles.

Pour classer deux droites de l'espace :

1. Existe-t-il un plan qui les contient toutes les deux ?
2. Si oui (coplanaires) : ont-elles un point commun ? sécantes ; sinon parallèles.
3. Si non : elles sont non coplanaires.

Dans un cube $ABCDEFGH$, les arêtes $(AB)$ et $(GH)$ sont parallèles.

Les arêtes $(AB)$ et $(CG)$, elles, sont non coplanaires : on ne peut pas trouver un plan qui contienne ces deux droites.

⚠️ Dans l'espace, « ni sécantes ni parallèles » est possible : c'est le cas des droites non coplanaires. Cela n'existe pas dans le plan !

Droite et plan : trois cas.

• la droite est contenue dans le plan (tous les points communs) ;
• la droite est parallèle au plan (aucun point commun) ;
• la droite est sécante au plan (un seul point commun).

Deux plans : trois cas.

• ils sont confondus ;
• ils sont strictement parallèles (aucun point commun) ;
• ils sont sécants : leur intersection est une droite.

Pour une droite et un plan :

1. La droite a-t-elle des points dans le plan ?
2. Aucun → parallèle ; un seul → sécante ; tous → contenue.

Pour deux plans : leur intersection est vide (parallèles) ou est une droite (sécants).

Dans un cube, la face $ABCD$ et la face $EFGH$ (face du dessus) sont deux plans strictement parallèles.

Deux faces adjacentes du cube se coupent selon une arête (droite) : elles sont sécantes.

Retiens : l'intersection de deux plans sécants est toujours une droite, jamais un seul point.

La perspective cavalière est une façon de dessiner un solide de l'espace sur une feuille plane. Ses règles :

• les arêtes vues de face sont en vraie grandeur ;
• les arêtes cachées se dessinent en pointillés ;
• les fuyantes (arêtes qui partent en profondeur) sont tracées parallèles entre elles, souvent à $30°$ ou $45°$, et réduites par un coefficient (par exemple $0{,}5$) ;
• le parallélisme est conservé : deux arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.

Pour dessiner un pavé en perspective cavalière :

1. Dessine la face avant en vraie grandeur.
2. Trace les fuyantes parallèles (même angle, même réduction).
3. Complète la face arrière.
4. Mets en pointillés les arêtes cachées.

Un cube vu en perspective cavalière : la face avant est un carré en vraie grandeur ; les fuyantes partent en biais (à $45°$), réduites de moitié ; les trois arêtes cachées sont en pointillés.

En perspective cavalière, les angles droits de la réalité ne restent pas forcément droits sur le dessin, mais le parallélisme, lui, est toujours conservé.

Les formules de volume à connaître :

• pavé droit : $V = L \times l \times h$ ;
• cube d'arête $a$ : $V = a^3$ ;
• prisme droit et cylindre : $V = \mathcal{B} \times h$ (aire de la base $\times$ hauteur) ;
• cylindre de rayon $r$ : $V = \pi r^2 \times h$.

Pour un cylindre, la base est un disque d'aire $\pi r^2$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi multiplier trois longueurs pour un pavé ? Imagine que tu le remplis de petits cubes de $1$ unité d'arête. Sur le sol, une couche compte $L \times l$ cubes (la base) ; et il faut empiler $h$ couches identiques pour atteindre le sommet. Le total est donc $(L \times l) \times h$, soit « aire de la base $\times$ hauteur ». C'est exactement la même idée pour le cylindre : on empile $h$ disques d'aire $\pi r^2$, d'où $V = \pi r^2 \times h$.

Pour un volume de pavé ou de cylindre :

1. Identifie le solide.
2. Calcule l'aire de la base si nécessaire.
3. Multiplie par la hauteur.
4. N'oublie pas l'unité en $\text{unités}^3$.

Pavé de dimensions $2$, $3$ et $4$ :

$V = 2 \times 3 \times 4 = 24$ unités de volume.

Cube d'arête $5$ : $V = 5^3 = 125$ unités de volume.

Pour le prisme et le cylindre, c'est toujours « aire de la base $\times$ hauteur ». Seule la forme de la base change.

Les solides « pointus » et la boule font intervenir un facteur $\dfrac{1}{3}$ ou $\dfrac{4}{3}$ :

• pyramide : $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ ;
• cône de rayon $r$ : $V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$ ;
• boule de rayon $r$ : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi r^3$.

La pyramide et le cône ont un volume trois fois plus petit qu'un prisme ou un cylindre de même base et même hauteur.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? D'où sort ce mystérieux $\dfrac{1}{3}$ ? Prends un cube d'arête $a$ et choisis un de ses sommets $S$. Relie $S$ aux quatre coins de chacune des trois faces qui ne touchent pas $S$ : tu obtiens trois pyramides qui, mises bout à bout, remplissent exactement le cube, sans trou ni chevauchement. Par symétrie ces trois pyramides sont identiques, donc chacune occupe le tiers du cube : $V = \dfrac{a^3}{3} = \dfrac{1}{3} \times \underbrace{a^2}_{\text{base}} \times \underbrace{a}_{\text{hauteur}}$. Voilà pourquoi une pyramide (et, par analogie, un cône) est trois fois plus petite qu'un prisme de même base et même hauteur.

Pour une pyramide ou un cône :

1. Calcule l'aire de la base $\mathcal{B}$.
2. Multiplie par la hauteur $h$.
3. Divise le tout par $3$ (facteur $\frac{1}{3}$).

Pour une boule : applique directement $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Pyramide de base carrée de côté $3$ (donc $\mathcal{B} = 3 \times 3 = 9$) et de hauteur $h = 5$ :

$V = \dfrac{1}{3} \times 9 \times 5 = \dfrac{45}{3} = 15$ unités de volume.

⚠️ N'oublie jamais le $\dfrac{1}{3}$ pour la pyramide et le cône, ni le $\dfrac{4}{3}$ pour la boule. C'est l'erreur la plus fréquente !