📐Systèmes de deux équations

Un système de deux équations à deux inconnues s'écrit :

$\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$

Résoudre le système, c'est trouver tous les couples $(x\,;\,y)$ qui vérifient les deux équations en même temps.

Avant de calculer :

1. Repère les deux inconnues (souvent $x$ et $y$).
2. Choisis une méthode : substitution ou combinaison.
3. Garde en tête qu'une solution est un couple, pas un seul nombre.

Le couple $(2\,;\,1)$ est-il solution de $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$ ?

Première équation : $2 + 1 = 3$ ✓. Seconde : $2 - 1 = 1$ ✓. Les deux sont vérifiées, donc $(2\,;\,1)$ est bien solution.

Une solution doit vérifier les deux équations. Si un couple ne marche que pour une seule, ce n'est pas une solution du système.

La substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre, puis à la remplacer dans la seconde équation.

1. Isole une inconnue dans l'une des équations (par exemple $y = \dots$).
2. Remplace cette inconnue dans l'autre équation.
3. Tu obtiens une équation à une seule inconnue : résous-la.
4. Reviens à l'expression du début pour trouver la seconde inconnue.

Résoudre $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$.

On remplace $y$ dans la 2e : $3x + (2x + 1) = 11$, soit $5x + 1 = 11$, donc $x = 2$. Puis $y = 2 \times 2 + 1 = 5$. Solution : $(2\,;\,5)$.

La substitution est idéale quand une inconnue est déjà isolée (ou facile à isoler, coefficient $1$).

La combinaison linéaire consiste à additionner (ou soustraire) les deux équations, après les avoir multipliées par des nombres bien choisis, pour éliminer une inconnue.

1. Multiplie chaque équation pour obtenir des coefficients opposés sur une inconnue.
2. Additionne les deux équations : une inconnue disparaît.
3. Résous l'équation à une inconnue obtenue.
4. Remplace dans une équation de départ pour trouver l'autre inconnue.

Résoudre $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$.

Les coefficients de $x$ sont déjà égaux. On soustrait : $(2x + 3y) - (2x - y) = 8 - 0$, soit $4y = 8$, donc $y = 2$. Puis $2x - 2 = 0$, soit $x = 1$. Solution : $(1\,;\,2)$.

La combinaison est pratique quand aucune inconnue n'est isolée. Pense à multiplier une équation par $-1$ pour passer d'une addition à une soustraction.

Chaque équation d'un système (du premier degré) représente une droite. Résoudre le système revient à chercher le point d'intersection de ces deux droites.

• Droites sécantes : une seule solution (un point).
• Droites strictement parallèles : aucune solution.
• Droites confondues : une infinité de solutions.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Regarde l'équation $y = mx + p$ : le nombre $m$ dit de combien on monte quand on avance de $1$ vers la droite. Si les deux droites ont des $m$ différents, l'une grimpe plus vite que l'autre : leur écart vertical change tout le temps, donc il passe forcément par $0$ une fois et une seule, et c'est là qu'elles se croisent (une seule solution). Si les $m$ sont égaux, les deux droites montent exactement au même rythme : l'écart vertical $p_1 - p_2$ ne bouge jamais. Du coup, soit cet écart vaut $0$ et elles sont collées partout (infinité de solutions), soit il ne vaut jamais $0$ et elles ne se touchent jamais (aucune solution).

1. Mets chaque équation sous la forme $y = mx + p$.
2. Compare les coefficients directeurs $m$.
3. Si les $m$ diffèrent → sécantes → une solution.
4. Si les $m$ sont égaux mais les $p$ différents → parallèles → pas de solution.

Le système $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = 2x - 3 \end{cases}$.

Les deux droites ont le même coefficient directeur $2$ mais des ordonnées à l'origine différentes ($1 \neq -3$) : elles sont parallèles, le système n'a aucune solution.

Coefficients directeurs différents → toujours une solution. Coefficients directeurs égaux → soit aucune, soit une infinité de solutions.

Beaucoup de problèmes concrets se traduisent par un système 2×2 : deux quantités inconnues reliées par deux informations.

1. Nomme les deux inconnues (par exemple $x$ et $y$) avec leur unité.
2. Traduis chaque phrase-information en une équation.
3. Résous le système.
4. Conclus avec une phrase en revenant au contexte (et vérifie la cohérence).

Deux stylos et trois cahiers coûtent $13$ €. Un stylo et un cahier coûtent $5$ €. Prix de chacun ?

Soit $x$ le prix d'un stylo, $y$ celui d'un cahier : $\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ x + y = 5 \end{cases}$. De la 2e : $x = 5 - y$. On remplace : $2(5 - y) + 3y = 13$, soit $10 + y = 13$, donc $y = 3$ et $x = 2$. Un stylo coûte $2$ €, un cahier $3$ €.

Vérifie toujours dans l'énoncé : $2 \times 2 + 3 \times 3 = 13$ ✓ et $2 + 3 = 5$ ✓. Un résultat négatif pour un prix doit t'alerter sur une erreur.