📊Statistiques descriptives

La moyenne d'une série de $n$ valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ est $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$.

Quand chaque valeur $x_i$ apparaît avec un effectif $n_i$ (ou un coefficient), on calcule la moyenne pondérée :

$\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{n_1 + n_2 + \dots + n_p}.$

La moyenne est un indicateur de position : elle résume la série par un nombre « central », mais elle est sensible aux valeurs extrêmes.

1. Multiplie chaque valeur par son effectif (ou son coefficient).
2. Additionne tous ces produits.
3. Divise par l'effectif total (la somme des effectifs).
4. Garde l'unité de la série dans le résultat.

Notes d'un élève avec coefficients :

$\bar{x} = \dfrac{2 \times 12 + 1 \times 8 + 3 \times 15}{2 + 1 + 3} = \dfrac{24 + 8 + 45}{6} = \dfrac{77}{6} \approx 12{,}83$.

Une moyenne pondérée n'est pas la moyenne des valeurs : ici $\dfrac{12+8+15}{3} \approx 11{,}67$, ce qui est faux car on ignore les coefficients. Pondère toujours !

La médiane $\text{Me}$ d'une série ordonnée partage les valeurs en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont $\le \text{Me}$ et au moins la moitié sont $\ge \text{Me}$.

• Si $n$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{n+1}{2}$.
• Si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2}+1$).

Contrairement à la moyenne, la médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes.

1. Range la série dans l'ordre croissant.
2. Compte le nombre $n$ de valeurs.
3. Si $n$ est impair : prends la valeur centrale (rang $\frac{n+1}{2}$).
4. Si $n$ est pair : fais la moyenne des deux valeurs centrales.

Série : $4 ; 7 ; 7 ; 9 ; 12 ; 15$ (déjà ordonnée, $n = 6$, pair).

Valeurs centrales : rangs $3$ et $4$, soit $7$ et $9$.

$\text{Me} = \dfrac{7 + 9}{2} = 8$.

Oublie pas de ranger la série avant ! Chercher la médiane sur des valeurs en désordre est l'erreur la plus fréquente.

Les quartiles partagent la série ordonnée en quatre groupes.

• Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $25\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.
• Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $75\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Méthode des rangs (au lycée) : on calcule $\dfrac{n}{4}$ pour $Q_1$ et $\dfrac{3n}{4}$ pour $Q_3$. Si le résultat n'est pas entier, on prend la valeur du rang immédiatement supérieur ; s'il est entier, on prend la valeur de ce rang.

1. Ordonne la série et note l'effectif $n$.
2. Calcule $\dfrac{n}{4}$ : arrondis à l'entier supérieur si besoin, $\to$ rang de $Q_1$.
3. Calcule $\dfrac{3n}{4}$ : même règle, $\to$ rang de $Q_3$.
4. Lis les valeurs correspondantes dans la série ordonnée.

Série ordonnée : $4 ; 7 ; 7 ; 9 ; 12 ; 15$ ($n = 6$).

$\dfrac{n}{4} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5 \to$ rang $2$ : $Q_1 = 7$.

$\dfrac{3n}{4} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5 \to$ rang $5$ : $Q_3 = 12$.

$Q_1$ et $Q_3$ sont toujours des valeurs de la série avec cette méthode des rangs (on ne fait pas de moyenne, contrairement à la médiane d'un effectif pair).

Ce sont des indicateurs de dispersion : ils mesurent à quel point les valeurs sont étalées.

• L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $\text{étendue} = x_{\max} - x_{\min}$.
• L'écart interquartile est $\text{EIQ} = Q_3 - Q_1$. Il mesure l'étalement des $50\,\%$ de valeurs centrales et il est insensible aux valeurs extrêmes.

1. Pour l'étendue : repère $x_{\min}$ et $x_{\max}$, puis soustrais.
2. Pour l'EIQ : détermine d'abord $Q_1$ et $Q_3$.
3. Calcule $Q_3 - Q_1$.
4. Plus l'EIQ est petit, plus les valeurs centrales sont resserrées.

Série : $4 ; 7 ; 7 ; 9 ; 12 ; 15$ avec $Q_1 = 7$ et $Q_3 = 12$.

Étendue : $15 - 4 = 11$.

Écart interquartile : $Q_3 - Q_1 = 12 - 7 = 5$.

Une grande étendue mais un petit EIQ révèle souvent une ou deux valeurs extrêmes isolées (la série est en réalité bien groupée).

L'écart-type, noté $\sigma$, mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne $\bar{x}$.

On calcule d'abord la variance $V$ (moyenne des carrés des écarts à la moyenne) :

$V = \dfrac{(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}, \qquad \sigma = \sqrt{V}.$

Un écart-type petit signifie que les valeurs sont proches de la moyenne ; un écart-type grand signifie qu'elles sont dispersées. En pratique, on le lit à la calculatrice.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi élever les écarts au carré au lieu de simplement faire leur moyenne ? Parce que la moyenne des écarts $x_i - \bar{x}$ vaut toujours $0$, quelle que soit la série ! Les écarts positifs (valeurs au-dessus de la moyenne) compensent exactement les écarts négatifs. Sur la série $2 ; 4 ; 6$ de moyenne $4$, les écarts sont $-2$, $0$, $+2$ : leur somme fait $0$. Cette mesure-là ne dirait jamais rien sur la dispersion. En passant au carré, tout devient positif (un $-2$ et un $+2$ comptent pareil) : on obtient la variance. La racine carrée finale ramène alors le résultat dans la même unité que les données.

1. Calcule la moyenne $\bar{x}$.
2. Pour chaque valeur, calcule l'écart $x_i - \bar{x}$ puis son carré.
3. Fais la moyenne de ces carrés : c'est la variance $V$.
4. Prends la racine carrée : $\sigma = \sqrt{V}$.

Série : $2 ; 4 ; 6$. Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{2+4+6}{3} = 4$.

Écarts au carré : $(2-4)^2 = 4$, $(4-4)^2 = 0$, $(6-4)^2 = 4$.

$V = \dfrac{4 + 0 + 4}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$ donc $\sigma = \sqrt{\tfrac{8}{3}} \approx 1{,}63$.

L'écart-type s'exprime dans la même unité que les données (la variance, elle, est en unité²). C'est pour ça qu'on prend la racine carrée.

Un diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) résume une série avec cinq nombres : le minimum, $Q_1$, la médiane, $Q_3$ et le maximum.

• La boîte va de $Q_1$ à $Q_3$ : elle contient les $50\,\%$ centraux.
• Un trait à l'intérieur marque la médiane.
• Les moustaches vont du minimum à $Q_1$ et de $Q_3$ au maximum.

Cet outil permet de comparer rapidement plusieurs séries (position, dispersion, symétrie).

1. Ordonne la série et calcule les 5 nombres : min, $Q_1$, médiane, $Q_3$, max.
2. Trace un axe gradué adapté aux valeurs.
3. Dessine la boîte de $Q_1$ à $Q_3$ et marque la médiane.
4. Trace les moustaches jusqu'au min et au max.

Série : $4 ; 7 ; 7 ; 9 ; 12 ; 15$.

Les cinq nombres : min $= 4$, $Q_1 = 7$, $\text{Me} = 8$, $Q_3 = 12$, max $= 15$.

La boîte s'étend de $7$ à $12$, avec la médiane à $8$ ; les moustaches vont de $4$ à $7$ et de $12$ à $15$.

La largeur de la boîte est l'écart interquartile : une boîte étroite = $50\,\%$ des valeurs très regroupées.